Circunferencia de Feuerbach

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Dado un triángulo cualquiera trazamos el punto medio de cada uno de sus lados, y también trazamos las tres alturas del triangulo y tomamos los tres puntos donde corta el lado de forma perpendicular o su extensión, la Circunferencia de Feuerbach es la circunferencia que pasa por los estos seis puntos.

Es decir, como tres puntos no colineales determinan una circunferencia pues lo importante es que la circunferencia que es determinada por los tres puntos de corte de la altura con el lado  o su extensión y la circunferencia que pasa por centros de cada lado son la misma.

Ahora, el punto donde se cortan las alturas se llama Ortocentro, si determinamos el punto medio del ortocentro con el vértice correspondiente a cada altura, estos tres puntos también se encuentran sobre la Circunferencia de Feuerbach.

En Mathematica

linea[{a_, b_}] := 
  ParametricPlot[a (1 - t) + b t, {t, -4, 5}, 
   PlotStyle -> {Green, Dashed}];
linea[a_, b_] := 
  ParametricPlot[a (1 - t) + b t, {t, -4, 5}, 
   PlotStyle -> {Red, Dashed}];
Manipulate[
 centro = TriangleCenter[{(p + q)/2, (p + r)/2, (q + r)/2}, 
   "Circumcenter"]; radio = EuclideanDistance[centro, (p + q)/2]; 
 orto = TriangleConstruct[{p, q, r}, "Orthocenter"][[1]]; 
 altup = TriangleConstruct[{q, p, r}, "Altitude"]; 
 altuq = TriangleConstruct[{p, q, r}, "Altitude"]; 
 altur = TriangleConstruct[{q, r, p}, "Altitude"]; 
 Show[Graphics[{{Red, PointSize[0.02], Point[(orto + p)/2], 
     Point[(orto + q)/2], Point[(orto + r)/2]}, {Black, 
     PointSize[0.02], Point[(p + q)/2], Point[(p + r)/2], 
     Point[(q + r)/2]}, {Blue, PointSize[0.02], Point[altuq[[1, 2]]], 
     Point[altur[[1, 2]]], Point[altup[[1, 2]]]}, {Green, 
     Circle[centro, radio]}, {Yellow, Opacity[0.5], 
     Triangle[{p, q, r}]}}, PlotRange -> 3], linea[p, q], linea[p, r],
   linea[q, r], Apply[linea, altur], Apply[linea, altup], 
  Apply[linea, altuq]], {{p, {1, -1}}, Locator}, {{q, {-1, -1}}, 
  Locator}, {{r, {-1, 1}}, Locator}]

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