Curva Podaria

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Dada una curva C y un punto fijo P, se llama Podaria de la curva C con respecto al punto P al lugar geométrico de las proyecciones ortogonales de P sobre las tangentes de la curva C.

En el siguiente ejemplo el punto R pertenece a la Podaria de la curva C con respecto al punto P.

Show[ContourPlot[{x^2 + x y == y, y == 0, x == -1}, {x, -3, 
   3}, {y, -3, 3}], 
 Graphics[{Point[{-1, -1}], Text["P", {-1.1, -1.1}], 
   Text["C", {0.9, 1}], Red, Point[{-1, 0}], Text["R", {-1.1, 0.1}]}]]

Dada la curva F(t) y un punto P, su recta tangente para t = t', tiene por ecuación:

F (t') + F' (t') s, con s en los reales.

La recta perpendicular a la tangente que pasa por el punto P, tiene por ecuación:

P + {{0, 1}, {-1, 0}} F' (t') u, con u en los reales.

El punto de corte entre las rectas anteriores, es:

Vamos a construir un aplicativo para determinar la Podaria de algunas curvas planas:

f1[t_] := {t, t^2}
f2[t_] := {t, t^3 - 3 t^2}
f3[t_] := {Cos[t], 4 Sin[t]}
f4[t_] := {t^3, t^2}
f5[t_] := {4 Cos[t]^3, 5 Sin[t]^3}
Manipulate[
 Show[ParametricPlot[{f[r] + t f'[r], 
    p + t Reverse[f'[r]] {1, -1}}, {t, -20, 20}, PlotRange -> 10], 
  ParametricPlot[f[t], {t, -50, 50}, PlotStyle -> Green], 
  ParametricPlot[{f[t] + 
     f'[t] (Dot[f'[t], p - f[t]]/Norm[f'[t]]^2)}, {t, -20.00001, r}, 
   PlotStyle -> Red], 
  Graphics[{Point[p], Point[f[r]], 
    Text["P", p + {-0.1, -0.1}]}]], {r, -20, 
  20}, {{f, f1, 
   "Curva C"}, {f1 -> "(t,t^2)", 
   f2 -> "(t,t^3-3t^2)", 
   f3 -> "(Cos[t],4Sin[t])", 
   f4 -> "(t^3,t^2)", 
   f5 -> "(4 Cos[t]^3,5 Sin[t]^3"}}, {p, {-5, -5}, {5, 5}}, 
 ControlPlacement -> Left]

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