Curva Contrapodaria

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En una publicación anterior, hablamos de la Curva Podaria, que correspondía a dada una curva C y un punto fijo P al lugar geométrico de las proyecciones ortogonales de P sobre las tangentes de la curva C. La ContraPodaria corresponde a las proyecciones ortogonales de P sobre la recta normal a cada punto de la curva C.

En el siguiente ejemplo el punto R pertenece a la Podaria de la curva C con respecto al punto P y Q la contraPodaria de la curva C con respecto al punto P.

Show[ContourPlot[{x^2 + x y == y, y == 0, x == 0, y == -1,
   x == -1}, {x, -3, 3}, {y, -3, 3}],
 Graphics[{Point[{-1, -1}], Text["P", {-1.1, -1.1}],
   Text["C", {0.9, 1}], Red, Point[{-1, 0}], Point[{0, -1}],
   Text["Podaria - R", {-1.5, 0.1}],
   Text["Q - ContraPodaria", {0.8, -1.1}]}]]

Dada la curva F(t) y un punto P, su recta normal en el punto t = t', tiene por ecuación:

F (t') +  {{0, 1}, {-1, 0}}F' (t') s, con s en los reales.

La recta perpendicular a la normal a C que pasa por el punto P, es paralela a recta tangente a C en el punto t',  tiene por ecuación:

P +F' (t') u, con u en los reales.

El punto de corte entre las rectas anteriores, es:

Vamos a construir un aplicativo para determinar la Podaria de algunas curvas planas:

f1[t_] := {t, t^2}
f2[t_] := {t, t^3 - 3 t^2}
f3[t_] := {Cos[t], 4 Sin[t]}
f4[t_] := {t^3, t^2}
f5[t_] := {4 Cos[t]^3, 5 Sin[t]^3}
Manipulate[m[t_] := f'[t] (Dot[f'[t], p - f[t]]/Norm[f'[t]]^2); 
 g1 = ParametricPlot[f[t], {t, -50, 50}, PlotStyle -> Green]; 
 Show[ParametricPlot[{p + t f'[r], f[r] + t Reverse[f'[r]] {1, -1}, 
    f[r] + t f'[r], p + t Reverse[f'[r]] {1, -1}}, {t, -20, 20}, 
   PlotRange -> 10], 
  ParametricPlot[f[t], {t, -50, 50}, PlotStyle -> Green], 
  If[Podaria, 
   ParametricPlot[{f[t] + m[t]}, {t, -20.00001, r}, 
    PlotStyle -> Pink], g1], 
  If[ContraPodaria, 
   ParametricPlot[{p - m[t]}, {t, -20.00001, r}, PlotStyle -> Red], 
   g1], Graphics[{Point[p], Point[f[r]], 
    Text["P", p + {-0.1, -0.1}]}]], {r, -20, 
  20}, {f, {f1, f2, f3, f4, f5}}, {p, {-5, -5}, {5, 
   5}}, {Podaria, {False, True}}, {ContraPodaria, {True, False}}, 
 ControlPlacement -> Left]

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