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martes, 21 de julio de 2020
Proyecciones de un punto en el circulo unitario sobre sus diámetros
Tenemos el circulo unitario, centrado en el origen y de radio una unidad, y un punto que se mueve sobre él.
La proyección perpendicular de éste punto sobre los diámetros del circulo que están sobre los ejes coordenados x y y corresponden respectivamente a los valores de coseno y seno (puntos de color naranja y verde).
El segmento de recta que une a los puntos (naranja y verde) siempre tiene longitud de una unidad, su punto medio se encuentra en el corte del segmento con el radio correspondiente del punto sobre la circunferencia unitaria y todos estos puntos medios forman una circunferencia centrada en el origen y de radio media unidad.
gra1 = ContourPlot[x^2 + y^2 == 1, {x, -2, 2}, {y, -2, 2},
Axes -> True];
gra2 = Point[{0, 0}];
Manipulate[
Show[gra1,
If[circulo, ParametricPlot[0.5 {Cos[u], Sin[u]}, {u, 0, t}], gra1],
Graphics[{Blue, Line[{{-1, 0}, {1, 0}}], Line[{{0, -1}, {0, 1}}],
Green, If[radio, Line[{{0, 0}, {Cos[t], Sin[t]}}], gra2], Black,
If[linea, Line[{{0, Sin[t]}, {Cos[t], 0}}], gra2], Red, Dashed,
If[proy, Line[{{Cos[t], 0}, {Cos[t], Sin[t]}, {0, Sin[t]}}],
gra2], PointSize[0.02], Point[{Cos[t], Sin[t]}], Green,
Point[{0, Sin[t]}], Orange, Point[{Cos[t], 0}], Pink,
If[puntomedio, Point[0.5 {Cos[t], Sin[t]}], gra2]}]], {{t, 0,
"Punto"}, 0.00001, 6 Pi}, {{proy, False, "Proyección"}, {False, True}}, {linea, {False, True}}, {radio, {False, True}}, {puntomedio, {False, True}}, {circulo, {False, True}}]
Ahora, vamos a considerar la proyección de un punto en el circulo unitario sobre cualquier diámetro del mismo.
gra1 = ContourPlot[x^2 + y^2 == 1, {x, -2, 2}, {y, -2, 2},
Axes -> True];
gra2 = Point[{0, 0}];
Manipulate[
Show[gra1, ParametricPlot[{a, Tan[u] a}, {a, -Cos[u], Cos[u]}],
Graphics[{Point[{(Cos[t] + Tan[u] Sin[t])/(Tan[u]^2 +
1), (Tan[u] Cos[t] + Tan[u]^2 Sin[t])/(Tan[u]^2 + 1)}], Red, Dashed, Line[{{Cos[t], Sin[t]}, {(Cos[t] + Tan[u] Sin[t])/(Tan[u]^2 + 1), (Tan[u] Cos[t] + Tan[u]^2 Sin[t])/(Tan[u]^2 + 1)}}], PointSize[0.02], Point[{Cos[t], Sin[t]}]}]], {{t, 0, "Punto"}, 0, 2 Pi}, {{u, Pi/4, "Diamétro"}, -Pi, Pi/2}]
Para un punto fijo sobre el circulo unitario, las proyecciones ortogonales sobre los diámetros del circulo forman una circunferencia de radio media unidad y centro en el punto medio del radio del circulo en el punto fijo inicial.
gra1 = ContourPlot[x^2 + y^2 == 1, {x, -2, 2}, {y, -2, 2},
Axes -> True];
gra2 = {PointSize[0.01], Point[{0, 0}]};
Manipulate[
Show[gra1,Table[ParametricPlot[{a, Tan[u] a}, {a, -Cos[u],Cos[u]}], {u, -Pi/2, Pi/2, Pi/24.}], Graphics[{Point@Table[{(Cos[t] + Tan[u] Sin[t])/(Tan[u]^2 + 1), (Tan[u] Cos[t] + Tan[u]^2 Sin[t])/(Tan[u]^2 + 1)}, {u, -Pi/2, Pi/2, Pi/24.}],Red, PointSize[0.02],Point[{Cos[t], Sin[t]}], If[circulo, Circle[0.5 {Cos[t], Sin[t]}, 0.5], gra2]}]], {{t, 0, "Punto"}, 0, 2 Pi}, {circulo, {False, True}}]
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