Teorema del Sándwich y Límites Trigonométricos

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Ejemplo

Calcular:

Plot[{x^2 Sin[50/x], x^2, -x^2}, {x, -5, 5}, PlotRange -> 20, 

 PlotLegends -> "Expressions"]

Tenemos que :

y sabemos que :

Limit[-x^2, x -> 0]

0

Limit[x^2, x -> 0]

0

por tanto,

Comprobación :

Limit[x^2 Sin[50/x], x -> 0]

0

Sabemos que :

Graphics[{{LightBlue, Disk[]}, {Orange, 

   Disk[{0, 0}, 1, {-Pi/4, Pi/4}]}, {Red, Text["R", {0.4, 0.5}], 

   Text["R", {0.4, -0.5}], Text["O", {-0.05, 0}], 

   Circle[{0, 0}, 0.1, {-Pi/4, Pi/4}], 

   Text["\[Theta]", {0.15, 0}]}, {Green, Thick, 

   Circle[{0, 0}, 1, {-Pi/4, Pi/4}]}, 

  Text["S = R\[CenterDot]\[Theta],  con \[Theta] en radianes", {1.6, 

    0}]}]

y también, en un circulo unitario tenemos:

Manipulate[

 Graphics[{Circle[], 

   Circle[{0, 0}, 0.1, {0, a}], {Line[{{0, 0}, {1, Tan[a]}}]}, {Green,

     Thick, Circle[{0, 0}, 1, {0, a}]}, {Red, Thick, 

    Line[{{Cos[a], 0}, {Cos[a], Sin[a]}}], 

    Line[{{1, 0}, {1, Tan[a]}}]}, {Text[

     "Sen(θ)", {0.89 Cos[a], 0.5 Sin[a]}], 

    Text["Tan(θ)", {1.12, 0.5 Tan[a]}], 

    Text["θ", {Cos[a/2], Sin[a/2]}], 

    Text["θ", 0.13 {Cos[a/2], Sin[a/2]}]}}, 

  Axes -> True], {{a, Pi/4, "θ"}, Pi/4, 0}]

de donde,

Así,

y como,

Limit[Cos[θ], θ -> 0]

1

Por el Teorema del Sándwich se tiene que:

Plot[Sin[θ]/θ, {θ, -1, 1}]

Quiet@TableForm[Table[{x, Sin[x]/x}, {x, -0.05, 0.05, 0.01}], 

  TableHeadings -> {None, {"x", "f(x)"}}]

El ángulo θ medido en sexagesimales

En Mathematica las funciones trigonométricas por primera opción, es decir cuando no se indica lo contrario, se calculan en radianes. Para calcular en sexagesimales se debe agregar dentro de la función Degree que es la constante que convierte de sexagesimales a radianes.

Sin[90] // N

0.893997

Sin[90 Degree]

1

Plot[Sin[θ Degree]/θ, {θ, -1, 1}]

Quiet@TableForm[Table[{x, Sin[x]/x Degree}, {x, -0.05, 0.05, 0.01}], 

  TableHeadings -> {None, {"x", "f(x)"}}]

Vemos que :

que corresponde a π/180,

N[Pi/180]

0.0174533

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