Números de Kaprekar

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Se deben al matemático Indio Shir Dattatreya Ramachandra Kaprekar (1905-1986) de quien ya hablamos en este Blog con la Constante de Kaprekar y la Constante de Kaprekar para 2,5,6 dígitos.

Un número de Kaprekar es un entero positivo X tal que los dígitos de su cuadrado pueden ser separados en dos números A y B que sumados dan el número original X. Es decir, para n un entero positivo:

Construimos la función kap[X] que descompone el cuadrado del número X en todas las posibles parejas de números candidatos a ser A y B,

kap[n_] := 
 Module[{lista, long, tabla}, lista = IntegerDigits[n^2]; 
  long = Length[lista]; 
  tabla = Select[Table[Map[FromDigits, TakeDrop[lista, p]], {p, 
      long - 1}], #[[2]] != 0 &]]

sólo nos queda por seleccionar los números tales que A + B = X, Así los números de Kaprekar menores que un millón son:

kaprekar = {1};
Do[If[MemberQ[Total[kap[n], {2}], n], AppendTo[kaprekar, n]], {n, 
  1000000}]
kaprekar

{1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, 4879, 4950, 5050, 5292, 7272, 7777, 9999, 17344, 22222, 38962, 77778, 82656, 95121, 99999, 142857, 148149, 181819, 187110, 208495, 318682, 329967, 351352, 356643, 390313, 461539, 466830, 499500, 500500, 533170, 538461, 609687, 627615, 643357, 648648, 670033, 681318, 791505, 812890, 818181, 851851, 857143, 961038, 994708, 999999}

notemos que todos los números de la forma 10ⁿ-1 son Números de Kaprekar, por tanto existen infinitos Números de Kaprekar.
El número 1 se agrega a la lista pues su cuadrado se puede descomponer en 0+1, veamos para los demás Números de Kaprekar cual es la descomposición de su cuadrado:

TableForm[
 Table[{kaprekar[[n]], kaprekar[[n]]^2, 
   Row[Part[kap[kaprekar[[n]]], 
     Position[Map[Total, kap[kaprekar[[n]]]], kaprekar[[n]]][[1, 1]]], "+"]}, {n, 2, Length[kaprekar]}], TableAlignments -> Right, 
 TableHeadings -> {None, {"X", "X²","A+B"}}]

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