La Hipótesis de Riemann

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Esta conjetura fue enunciada en el año de 1859 por el matemático alemán Bernard Riemann en su tesis doctoral, en esencia plantea que:

para la función Zeta de Riemann definida en los números complejos por:

todos sus ceros no triviales tienen parte real igual a 1/2.

Una de las grandes importancias de la función Zeta de Riemann es que el matemático suizo Leonard Euler había previamente probado la siguiente relación:

Así, los ceros de la función Zeta de Riemann tienen relación con la distribución de los números primos, de aquí su importancia.

El problema ha tomado relevancia a nivel popular pues el pasado Lunes 24 de Septiembre el matemático Michael Atiyah, laureado con la medalla Fields en 1966, ha realizado una posible demostración (aún no es aceptada por la comunidad matemática en general).


En Mathematica

Mathematica incorpora el comando Zeta[ ] para el cálculo de la función Zeta de Riemann.

Al pedirle a Mathematica que nos muestre los ceros de la función Zeta con parte real igual a 1/2, obtenemos:

Reduce[Zeta[z] == 0, z]

es decir, realiza el calculo asumiendo como cierta la hipótesis de Riemann.

Es imposible realizar un gráfico de la función Zeta de Riemann pues es una función de los complejos en los complejos, si asumimos los complejos como una representación del plano, tendríamos que la gráfica se debe realizar en cuatro dimensiones. Por tanto representaremos la parte real de la función Zeta de Riemann con un plano horizontal en cero y uno vertical en 1/2.

Show[Plot3D[{Re[Zeta[s + I t]], 0}, {s, 0, 1}, {t, 0, 50}, 
  BoxRatios -> {1, 5, 1.5}], 
 ContourPlot3D[s == 1/2, {s, 0, 1}, {t, 0, 50}, {u, -2, 3}, 
  Mesh -> None, ContourStyle -> Opacity[0.5]]]

Al graficar en un mismo plano tanto la parte real como la parte imaginaria de la función Zeta de Riemann para valores complejos de parte real igual a 1/2 vemos sus ceros (para la parte imaginaria entre 10 y 50) donde ambas funciones cortan el eje X.

Plot[{Re@Zeta[1/2 + I x], Im@Zeta[1/2 + I x]}, {x, 10, 50}, 
 PlotStyle -> {Red, Green}, PlotLegends -> "Expressions"]

Realizamos un Manipulate para valores de la parte imaginaria entre 10 y 50, representando la parte real y la parte imaginaria de la función Zeta de Riemann para valores de la parte real entre -1 y 10.

Manipulate[
 Plot[{Re@Zeta[c + I x], Im@Zeta[c + I x]}, {x, 10, 50}, 
  PlotRange -> 5, PlotStyle -> {Red, Green}, 
  PlotLegends -> {"Parte Real", "Parte Imaginaria"}], {{c, 1/2, 
   "Parte Real del Dominio"}, -1, 10}]

Vemos como la parte imaginaria se estabiliza en cero y la parte real en uno, lo cual no da posibilidad de la aparición de otros ceros de la función.


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