Caracol de Pascal

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Dada la circunferencia unitaria (de radio una unidad y centrada en el origen), consideramos las rectas que pasan por el punto (-1,0), marcamos el punto donde la recta corta la circunferencia y lo llamamos P.

La circunferencia la vamos a considerar de forma paramétrica como los puntos (Cos[t],Sin[t]) y así para un valor t la recta tiene por ecuación:

y = (Sin[t]/(Cos[t] + 1)) (x + 1)

así, podemos generar la siguiente representación :

Manipulate[
 Show[ParametricPlot[{Cos[t], Sin[t]}, {t, 0, 2 Pi}, 
   PlotStyle -> Dashed, PlotRange -> 3], 
  Plot[(Sin[a]/(Cos[a] + 1)) (x + 1), {x, -2.5, 2.5}], 
  Graphics[{PointSize[Large], Point[{Cos[a], Sin[a]}]}], 
  Graphics[Text["P", {Cos[a + 0.2], 
     Sin[a + 0.2]}]]], {{a, Pi/2}, 0, 2 Pi}]

Ahora, consideraremos todos los puntos sobre la recta que se encuentran a una distancia igual a a unidades del punto P, para ello resolvemos la ecuación:

o equivalentemente,

(x - Cos[t])² + ((Sin[t]/(Cos[t] + 1)) (x + 1) - Sin[t])² = a²

por medio del comando Solve[ ] tenemos,

Solve[(x - Cos[t])^2 + ((Sin[t]/(Cos[t] + 1)) (x + 1) - Sin[t])^2 ==  a^2, x]

{{x -> -a Cos[t/2] + Cos[t]}, {x -> a Cos[t/2] + Cos[t]}}

Representando las soluciones de forma paramétrica, tenemos:

Manipulate[
 ParametricPlot[{{-a Cos[t/2] + Cos[t], 
    Sin[t]/(Cos[t] + 1) (-a Cos[t/2] + Cos[t] + 1)}, {a Cos[t/2] + 
     Cos[t], Sin[t]/(Cos[t] + 1) (a Cos[t/2] + Cos[t] + 1)}}, {t, 0, 
   2 \[Pi]}, PlotRange -> 5], {{a, 2}, 0, 4}]

Esta figura se conoce como un Caracol de Pascal, para a=0 es la circunferencia unitaria y hasta a=2 tiene el bucle interior. Representándolo junto con la circunferencia y la recta que lo genera, obtenemos:

Manipulate[
 Show[ParametricPlot[{{-a Cos[t/2] + Cos[t], 
     Sin[t]/(Cos[t] + 1) (-a Cos[t/2] + Cos[t] + 1)}, {a Cos[t/2] + 
      Cos[t], Sin[t]/(Cos[t] + 1) (a Cos[t/2] + Cos[t] + 
        1)}}, {t, \[Pi]/2,θ}, PlotRange -> 5, 
   PlotStyle -> Red], 
  ParametricPlot[{Cos[p], Sin[p]}, {p, 0, 2 Pi}, 
   PlotStyle -> Dashed], 
  Plot[(Sin[θ]/(Cos[θ] + 1)) (x + 1), {x, -2.5, 
    2.5}]], {θ, Pi/2 + 0.00001, Pi/2 + 2 Pi}, {{a, 2},
   0, 4}]

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