Curva o Ventana de Viviani

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Corresponde a la curva que se genera como la intersección de una esfera y un cilindro de radio la mitad de la esfera, y que pasa por el centro de la esfera. Fue propuesta por el matemático italiano Vincenzo Viviani en 1692.

Show[ContourPlot3D[x^2 + y^2 == y, {x, -1, 1}, {y, -1, 1}, {z, -1, 1},ContourStyle -> {Yellow, Opacity[0.8]}, Mesh -> None], 
 Graphics3D[{Opacity[0.5], Sphere[]}]]

El problema consiste en resolver el sistema de ecuaciones:

de donde z²=R²-R y,  como sabemos que la circunferencia en el plano xy en polares tiene por ecuación r=R Sen(θ), y en polares: x=r Cos(θ) y y=r Sen(θ), así:

Por tanto, para R = 1 tenemos :

ParametricPlot3D[{Sin[θ] Cos[θ], Sin[θ]^2, 
  Cos[θ]}, {θ, 0, 2 Pi}, PlotStyle -> Red]

Con todas las figuras :

Manipulate[
 Show[Graphics3D[{Opacity[0.5], Sphere[]}], 
  ParametricPlot3D[{Sin[θ] Cos[θ], Sin[θ]^2, 
    Cos[θ]}, {θ, 0, a}, 
   PlotStyle -> {Red, Thickness[0.01]}], 
  ContourPlot3D[x^2 + y^2 == y, {x, -1, 1}, {y, -1, 1}, {z, -1, 1}, 
   ContourStyle -> {Yellow, Opacity[0.8]}, Mesh -> None], 
  ViewPoint -> {1, 1, 1}], {a, 0.001, 2 Pi, Trigger}]

Creación del GIF

Export[NotebookDirectory[] <> "viviani1.gif", 
 Manipulate[
  Show[Graphics3D[{Opacity[0.5], Sphere[]}], 
   ParametricPlot3D[{Sin[θ] Cos[θ], Sin[θ]^2, 
     Cos[θ]}, {θ, 0, a}, 
    PlotStyle -> {Red, Thickness[0.01]}], 
   ContourPlot3D[x^2 + y^2 == y, {x, -1, 1}, {y, -1, 1}, {z, -1, 1}, 
    ContourStyle -> {Yellow, Opacity[0.8]}, Mesh -> None], 
   ViewPoint -> {1, 1, 1}], {a, 0.001, 2 Pi, Trigger}], 
 "AnimationRepetitions" -> Infinity]



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