Teorema de los Primos de la forma 4 n + 1

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Todo número primo de la forma 4 n + 1 se puede expresar como la suma de dos cuadrados.

Fue conjeturado primero por Pierre de Fermat en el año de 1640 y posteriormente demostrado por Leonard Euler en el año de 1749.

Calculamos de los números de la forma 4 n + 1 cuales son primos para n entero positivo hasta 200.

primos = {};
Do[If[PrimeQ[4 n + 1], AppendTo[primos, 4 n + 1]], {n, 200}]

Determinamos para los números primos anteriores como es su escritura de acuerdo al Teorema:

teorema = {};
Do[m = 1; 
 While[primos[[n]] > 2 m^2, 
  If[IntegerQ[Sqrt[primos[[n]] - m^2]], 
   AppendTo[
    teorema, {primos[[n]] "=" Power[HoldForm@Evaluate[m], 2] + 
      Power[HoldForm@Evaluate[Sqrt[primos[[n]] - m^2]], 2]}]]; 
  m++], {n, Length[primos]}]
Partition[Flatten[teorema], 4] // TableForm

Ahora, para n entero positivo menor de 20000 vamos a buscar si existe alguno que no se pueda representar de acuerdo al Teorema.

primos = {};
Do[If[PrimeQ[4 n + 1], AppendTo[primos, 4 n + 1]], {n, 200000}]

teorema = {};
Do[m = 1; 
 While[primos[[n]] > 2 m^2, 
  If[IntegerQ[Sqrt[primos[[n]] - m^2]], 
   AppendTo[teorema, primos[[n]]]]; m++], {n, Length[primos]}]
Complement[primos, teorema]

{ }

Como obtenemos vacío indica que, como se esperaba pues es un Teorema, no existen números que la incumplan.

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