Sucesión Anti Fibonacci

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Sabemos que la Sucesión de Fibonacci esta definida de forma recurrente como la sucesión donde sus dos primeros términos son unos y los siguientes se obtienen como la suma de los dos términos anteriores.

a ( 1 ) = 1, a ( 2 ) = 1   y   a ( n ) = a ( n-1 ) + a ( n - 2 ).

Y la podemos generar, en sus primeros 20 términos, por :

fib[1] = 1; fib[2] = 1;
fib[n_] := fib[n - 1] + fib[n - 2]
Table[fib[n], {n, 20}]

{1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765}

Ahora, la Sucesión AntiFibonacci se define también de forma recurrente, como la sucesión cuyos dos primeros términos son unos y los demás son la suma de los dos términos siguientes, tendríamos que conocer los términos cuarto y quinto para poder determinar el tercero.

a ( 1 ) = 1, a ( 2 ) = 1 y a ( n ) = a ( n + 1 ) + a ( n + 2 ).

A primera vista uno pensaría que tendría que conocer no los dos primeros términos, sino los dos últimos para poder determinar todos los demás. El problema es que la sucesión es infinita así que conocer los últimos es un contrasentido. Ahora apoyándonos en el álgebra tenemos que:

La podemos escribir también como :

a ( 1 ) = 1, a ( 2 ) = 1   y   a ( n - 2 ) = a ( n ) + a ( n - 1 ),

de donde,

a ( n ) = a ( n - 2 ) + a ( n - 1 ).

Así, en Mathematica tenemos :

ifib[1] = 1; ifib[2] = 1;
ifib[n_] := ifib[n - 2] - ifib[n - 1]
Table[ifib[n], {n, 20}]

{1, 1, 0, 1, -1, 2, -3, 5, -8, 13, -21, 34, -55, 89, -144, 233, -377, 610, -987, 1597}

Que corresponde a la sucesión de Fibonacci con los valores iniciales fib(1)= -1 y fib(2)=1.

fib[1] = -1; fib[2] = 1;
fib[n_] := fib[n - 1] + fib[n - 2]
Table[fib[n], {n, 20}]

{-1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597}

y multiplicando cada término por (-1)ⁿ:

Table[fib[n] (-1)^n, {n, 20}]

{1, 1, 0, 1, -1, 2, -3, 5, -8, 13, -21, 34, -55, 89, -144, 233, -377, 610, -987, 1597}


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