Sucesión Fractal o de Levine

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El matemático Lionel Levine de la Universidad de California la introduce en un articulo titulado : Fractal Sequences and Restricted Nim.

Se define como la sucesión que en sus posiciones impares corresponde a la sucesión de los números naturales (comenzando en cero) y en sus posiciones pares es la sucesión original, ella misma.

Para generarla definimos la función s[n],

utilizando el comando Piecewise[ ]:

s[n_] := Piecewise[{{(n - 1)/2, OddQ[n]}, {lista[[n/2]], EvenQ[n]}}]

La cual en las posiciones impares n asigna el valor (n-1)/2, y en las posiciones pares n el elemento que se encuentra en la posición n/2. Calculando los primeros cien elementos de la lista tenemos: en verde los números naturales desde cero y en rojo los primeros elementos de la sucesión, es decir ella se contiene a sí misma por eso se le llama sucesión fractal.

cantidad = 100;
lista = {};
Do[AppendTo[lista, s[n]], {n, cantidad}]
Table[If[EvenQ[n], Text[Style[lista[[n]], Red]], 
  Text[Style[lista[[n]], Green]]], {n, cantidad}]

Determinando la posición en la que encontramos cada elemento, obtenemos:

Table[{n,Row[{Flatten@Position[lista,n]}]},{n, 0, 10}]//TableForm

Observamos, que el número n aparece en la lista en las posiciones:

para valores de k desde 1 en adelante.

Así, también podemos generar la sucesión ubicando en la posición (2 n + 1) 2^(k-1) el valor n para valores de k desde 1 en adelante:

lis = Table[a, {p, 100}];
Do[lis1 = ReplacePart[lis, (2 n + 1) 2^(k - 1) -> n]; 
 lis = lis1, {k, 7}, {n, 0, 49}]
lis1

{0, 0, 1, 0, 2, 1, 3, 0, 4, 2, 5, 1, 6, 3, 7, 0, 8, 4, 9, 2, 10, 5, 11, 1, 12, 6, 13, 3, 14, 7, 15, 0, 16, 8, 17, 4, 18, 9, 19, 2, 20,
10, 21, 5, 22, 11, 23, 1, 24, 12, 25, 6, 26, 13, 27, 3, 28, 14, 29, 7, 30, 15, 31, 0, 32, 16, 33, 8, 34, 17, 35, 4, 36, 18, 37, 9, 38,
19, 39, 2, 40, 20, 41, 10, 42, 21, 43, 5, 44, 22, 45, 11, 46, 23, 47, 1, 48, 24, 49, 12}

Podemos generalizar la anterior sucesión utilizando no necesariamente la sucesión de los números naturales sino cualquier otra sucesión, por ejemplo i[n]:


a[n_]:= Piecewise[{{i[(n - 1)/2],OddQ[n]},{list[[n/2]],EvenQ[n]}}]

cantidad = 100;
list = {};
Do[AppendTo[list, a[n]], {n, cantidad}]
Table[If[EvenQ[n], Text[Style[list[[n]], Red]], 
  Text[Style[list[[n]], Green]]], {n, cantidad}]

Donde también, cada elemento i[n] de la sucesión aparece en la posición (2 n + 1) 2^(k-1) para valores de k desde 1 en adelante.

Table[{i[n],Row[{Flatten@Position[list,i[n]]}]},{n,0,10}]//TableForm

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