Circunferencia de Conway

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Resultado dado a conocer en forma de problema por el matemático John Horton Conway.

Dado un triángulo cualquiera, prolongamos las líneas que forman cada vértice una longitud igual a la longitud del lado opuesto del vértice, y así para los tres vértices del triángulo, obteniendo seis puntos al final de dichas prolongaciones. Obtenemos el siguiente resultado:

Teorema de Conway

 Los seis puntos obtenidos al final de las seis prolongaciones de los segmentos descritas anteriormente desde los tres vértices del triángulo están en una misma circunferencia.

 Esta circunferencia se conoce como la Circunferencia de Conway.

 En el siguiente aplicativo nos ilustra el resultado, tenemos un triángulo de vértices A, B y C con lados opuestos a cada vértice nombrados a, b y c, en el vértice A prolongamos las líneas que lo forman una longitud igual al lado contrario a, y así con los vértices B y C, encontrando seis puntos (dibujados en rojo) por ellos pasa una única circunferencia que corresponde a la Circunferencia de Conway.

Manipulate[dab = EuclideanDistance[a, b]; 
 dac = EuclideanDistance[a, c]; dbc = EuclideanDistance[c, b];
 Show[Graphics[{Text["A", a + 0.2 Sign[a[[1]]]], 
    Text["B", b + 0.2 Sign[b[[1]]]], Text["C", c + 0.2 Sign[c[[1]]]], 
    Text["a", (b + c)/2 + 0.1], Text["b", (a + c)/2 + 0.1], 
    Text["c", (b + a)/2 + 0.1],
    Text["b", b + dac/dab (b - a) 0.5 + 0.1], 
    Text["c", c + dab/dbc (c - b) 0.5 + 0.1], 
    Text["c", c + dab/dac (c - a) 0.5 + 0.1], 
    Text["a", a + dbc/dab (a - b) 0.5 + 0.1], 
    Text["a", a + dbc/dac (a - c) 0.5 + 0.1], 
    Text["b", b + dac/dbc (b - c) 0.5 + 0.1], {Pink, Opacity[0.2], 
     EdgeForm[Directive[Thick, Red]], Triangle[{a, b, c}]}, 
    If[circ, 
     Circumsphere[{b + dac/dab (b - a), c + dab/dbc (c - b), 
      c + dab/dac (c - a)}], Point[a]], {Red, PointSize[Large], 
     Point[{b + dac/dab (b - a), c + dab/dbc (c - b), 
      c + dab/dac (c - a), a + dbc/dab (a - b), b + dac/dbc (b - c), 
       a + dbc/dac (a - c)}]}}, PlotRange -> 4], 
  ParametricPlot[a (1 - t) + b t, {t, -dbc/dab, 1 + dac/dab}, 
   PlotStyle -> Dashed], 
  ParametricPlot[a (1 - t) + c t, {t, -dbc/dac, 1 + dab/dac}, 
   PlotStyle -> Dashed], 
  ParametricPlot[b (1 - t) + c t, {t, -dac/dbc, 1 + dab/dbc}, 
   PlotStyle -> Dashed]], {{a, {1, 1}}, Locator}, {{b, {-1, 1}}, 
  Locator}, {{c, {1, 0}}, 
  Locator}, {{circ, False, "Circunferencia de Conway"}, {False, 
   True}}]

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