Curvas sobre algunas Superficies

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Estas curvas presentan mayor interés cuando los valores de p y q son primos relativos entre sí, en este caso el número de puntas es pq.

Sobre un cilindro

Curvas sobre el cilindro: x² + y² = 1

Lazo que termina en puntas

Manipulate[

 Show[ContourPlot3D[

   x^2 + y^2 == 1, {x, -1, 1}, {y, -1, 1}, {z, -2, 2}, 

   ContourStyle -> Opacity[0.3], Mesh -> 1], 

  ParametricPlot3D[{Cos[q t], Sin[q t], ArcSin[Cos[p t]]}, {t, 0, 

    2 Pi}, PlotStyle -> {Red, Thickness[0.01]}]], {p, 1, 10, 1}, {q, 

  1, 10, 1}]

Lazos con puntas redondeadas

Show[ContourPlot3D[x^2 + y^2 == 1, {x, -1, 1}, {y, -1, 1}, {z, -2, 2},

    ContourStyle -> Opacity[0.3], Mesh -> 1], 

  ParametricPlot3D[{Cos[q t], Sin[q t], Cos[p t]}, {t, 0, 2 Pi}, 

   PlotStyle -> {Red, Thickness[0.01]}]], {p, 1, 10, 1}, {q, 1, 10, 

  1}]

Sobre un elipsoide

Elipsoide de ecuación: x² + y² + (k z)² = 1

Manipulate[

 Show[ContourPlot3D[

   x^2 + y^2 + k^2 z^2 == 1, {x, -1, 1}, {y, -1, 1}, {z, -1, 1}, 

   ContourStyle -> Opacity[0.8], Mesh -> 1], 

  ParametricPlot3D[{Cos[q t]/Sqrt[1 + k^2 Sin[p t]^2], 

    Sin[q t]/Sqrt[1 + k^2 Sin[p t]^2],

    Sin[p t]/Sqrt[1 + k^2 Sin[p t]^2]}, {t, 0, 2 Pi}, 

   PlotStyle -> {Red, Thickness[0.01]}]], {p, 1, 10, 1}, {q, 1, 10, 

  1}, {k, 1, 5, 1}]

Sobre un hiperboloide de una hoja

Hiperboloide de ecuación: x² + y² - k² z²/(1 + k²) = 1/(1 + k²)

Manipulate[

 Show[ContourPlot3D[

   x^2 + y^2 - k^2/(1 + k^2) z^2 == 1/(1 + k^2), {x, -1.1, 

    1.1}, {y, -1.1, 1.1}, {z, -1.1, 1.1}, 

   ContourStyle -> Opacity[0.5], Mesh -> 1], 

  ParametricPlot3D[{Cos[q t]/Sqrt[1 + k^2 Sin[p t]^2], 

    Sin[q t]/Sqrt[1 + k^2 Sin[p t]^2],

    Cos[p t]/Sqrt[1 + k^2 Sin[p t]^2]}, {t, 0, 2 Pi}, 

   PlotStyle -> {Red, Thickness[0.01]}]], {p, 1, 10, 1}, {q, 1, 10, 

  1}, {k, 1, 5, 1}]

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