Series de Fourier

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Conocemos las Series de Taylor que nos permiten aproximar por un polinomio una función, con la única condición de ser continuamente diferenciable en el punto donde se centra su región de convergencia. Pero con la restricción que la región de convergencia no se extiende más allá del punto de discontinuidad meas próximo al centro.

Ahora, las Series de Fourier sí se extienden más de los puntos de discontinuidad, y son sumas de constantes multiplicadas por funciones senos y/o cosenos de diferente frecuencia.

En general, dada una función f(x) integrable en un intervalo [ -L , L ], tenemos que:

donde,

y

la función f (x) tiene un período de 2L.

Ejemplo 1

Determinar la Serie de Fourier para f(x) = x para x \[Epsilon] [-\[Pi] , \[Pi] ].

Primero determinamos los coeficientes de Fourier an y bn,

0

0

Así, tenemos que :

cuyos primeros términos, son :

Plot[{x, 2 Sin[x] - Sin[2 x] + 2/3 Sin[3 x] - 1/2 Sin[4 x] + 

   2/5 Sin[5 x]}, {x, -10, 10}, PlotStyle -> {Red, Green}]

Ahora, si consideramos que la función f(x)=x es periódica y de periodo 2Pi, tenemos:

Hemos generado una aproximación continua para una función discontinua .

Ejemplo 2

Consideremos la función definida por trozos :

de periodo 6, es decir L = 3.

3/2

Así, tenemos que :

Graficando, queda:

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