Problema de geometría, álgebra y cálculo

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Un problema que relaciona varias áreas de las matemáticas, no es difícil, pero sí interesante. 

Dada la media circunferencia de radio R, determinar una fórmula para calcular el radio r de la circunferencia interior en términos de a, b y R.

Clear[R, r, m]

R = 1;

Manipulate[r = (R^2 - m^2)/(2 R); ap = Sqrt[2 r (R + m) - r^2]; 

 bp = -m (m - r)/r + Sqrt[m^2 + r^2] R/r; 

 an = Sqrt[2 r (R - m) - r^2]; 

 bn = -m (m + r)/r + Sqrt[m^2 + r^2] R/r; 

 Show[Graphics[{{Red, Line[{{-R, 0}, {R, 0}}]}, {Circle[{m, r}, r], 

     Red, Circle[{0, 0}, R, {0, Pi}]}, 

    PointSize[0.02], {Orange, Point[R {m, r}/Sqrt[m^2 + r^2]], 

     Point[{m, r}], 

     If[m >= 0, {Text["b", {m - 1.1 r, (bp + ap)/2}], 

       Text["a", {m - 1.1 r, (r + ap)/2}], 

       Text["r", {m + r/2, 1.1 r}], Point[{m - r, r}], 

       Point[{m - r, ap}], Point[{m - r, bp}], Pink, 

       Line[{{m - r, r}, {m - r, ap}}], Black, 

       Line[{{m, r}, {m + r, r}}], 

       Line[{{m - r, ap}, {m - r, bp}}]}, {Text[

        "b", {m + 1.1 r, (bn + an)/2}], 

       Text["a", {m + 1.1 r, (r + an)/2}], 

       Text["r", {m - r/2, 1.1 r}], Point[{m + r, r}], 

       Point[{m + r, an}], Point[{m + r, bn}], Pink, 

       Line[{{m + r, r}, {m + r, an}}], Black, 

       Line[{{m - r, r}, {m, r}}], 

       Line[{{m + r, Sqrt[2 r (R - m) - r^2]}, {m + r, -m (m + r)/r + 

           Sqrt[m^2 + r^2] R/r}}]}]}, {Green, 

     Line[{{0, 0}, {2 Sign[m], 2 r/Abs[m]}}]}}], 

  Plot[-m x/r + Sqrt[m^2 + r^2] R/r, {x, -3 R/2, 3 R/2}], 

  Ticks -> None, Axes -> False, AspectRatio -> 1, 

  PlotRange -> {{-1, 1} 5 R/4, {-0.25, 2.25} R}], {{m, 0.5, 

   "Centro"}, -9 R/10, 9 R/10}]

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