Distancia Media de dos puntos sobre la Circunferencia Unitaria

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Determinar la media (el promedio) de las distancias de dos puntos que se encuentran sobre la circunferencia de radio uno. 

f[t_] := {Cos[t], Sin[t]}

Graphics[{Circle[], 

  Table[{Hue[Cos[i]], 

    Line[{f[RandomReal[2 Pi]], f[RandomReal[2 Pi]]}]}, {i, 100}]}]

Considerando los puntos en coordenadas polares son de radio 1 y únicamente quedan determinados por su ángulo.

La distancia entre los puntos (Cos(t1),Sen(t1)) y (Cos(t2),Sen(t2)) es:

Simplify[Sqrt[(Cos[t1] - Cos[t2])^2 + (Sin[t1] - Sin[t2])^2]]

TrigReduce[%]

Como, t1 y t2 toman valores entre 0 y 2Pi, por la fórmula del valor medio tenemos:

4/π

Comprobándolo por medio de una simulación:

Para 100 líneas:

ss = 0; pro = {}; nn = 100; Do[t1 = RandomReal[2 Pi]; 

 t2 = RandomReal[2 Pi];

 ss = ss + Sqrt[2 - 2 Cos[t1 - t2]]; AppendTo[pro, ss/i], {i, nn}];

Show[Plot[4/Pi, {x, 0, nn}, PlotStyle -> Red, PlotRange -> {0, 1.5}, 

  PlotLabels -> "Expressions"], ListPlot[pro]]

Para 1000 líneas :

Para 100000 líneas :

Que se corresponde con los resultados teóricos.

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