Area Encerrada en Polares

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Ejemplo 1

Determinar el área de la región encerrada por r = Sen(θ) y r = Cos(θ).

Show[PolarPlot[{Sin[t], Cos[t]}, {t, 0, Pi}, 

  PlotLabels -> {"r = Sen(θ)", "r = Cos(θ)"}], 

 RegionPlot[

  0 < x < 0.5 && -Sqrt[0.5^2 - x^2] + 0.5 < y < 

    Sqrt[0.5^2 - (x - 0.5)^2], {x, 0, 0.5}, {y, 0, 0.5}]]

Determinando el punto de corte, igualamos por r :

Solve[Sin[t] == Cos[t], t]

El punto de corte es π/4.

Manipulate[

 Show[PolarPlot[1.2, {t, 0, 2 Pi}, PlotStyle -> LightGray, 

   PolarGridLines -> Automatic, PolarAxes -> True, PlotRange -> 2.5], 

  PolarPlot[2, {t, 0, a}, PlotStyle -> Green], 

  PolarPlot[{Sin[t], Cos[t]}, {t, 0, Pi}, 

   PlotLabels -> {"r = Sen(θ)", "r = Cos(θ)"}], 

  Graphics[{Red, Dashed, 

    Line[{{0, 0}, 

      If[a < Pi/4, {Sin[a] Cos[a], Sin[a] Sin[a]}, {Cos[a] Cos[a], 

        Cos[a] Sin[a]}]}]}]], {{a, Pi/12, "θ"}, 0.00001, Pi/2}]

Observe que el rayo rojo de 0 a π / 4 va hasta Sen(θ) y de π / 4 a π / 2  va hasta Cos(θ), esto define los límites de la integral.

Calculando :

Ejemplo 2

Determinar el área de la región dentro de r = 3Sen(θ) y por fuera de r = 1 + Sen(θ).

PolarPlot[{3 Sin[t], 1 + Sin[t]}, {t, 0, 2 Pi}, 

 PlotLabels -> {"r = 3Sen(θ)", "r = 1 + Sen(θ)"}]

Puntos de corte :

Solve[3 Sin[t] == 1 + Sin[t], t]

Tenemos que los cortes ocurren enπ / 6 y en 5π / 6

Manipulate[

 Show[PolarPlot[3, {t, 0, 2 Pi}, PlotStyle -> LightGray, 

   PolarGridLines -> Automatic, PolarAxes -> True, PlotRange -> 3.5], 

  PolarPlot[1, {t, 0, a}, PlotStyle -> Green], 

  PolarPlot[{3 Sin[t], 1 + Sin[t]}, {t, 0, 2 Pi}, 

   PlotLabels -> {"r =3 Sen(θ)", "r = 1 + Sen(θ)"}], 

  Graphics[{{Green, Dashed, 

     Line[{{0, 

        0}, {(1 + Sin[a]) Cos[a], (1 + Sin[a]) Sin[a]}}]}, {Red, 

     Thick, Line[{{(1 + Sin[a]) Cos[a], (1 + Sin[a]) Sin[a]}, {3 Sin[

          a] Cos[a], 3 Sin[a] Sin[a]}}]}}]], {{a, Pi/6, "θ"}, 

  Pi/6, 5 Pi/6}]

Observe que el rayo rojo toma valores de π / 6 a 5π / 6 y comienza en 1+ Sen(θ) y termina en  3Sen(θ), esto define los límites de la integral.

calculando es:

π

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