Relación entre los Hiperboloides y el Cono

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Sabemos que las formas canónicas de los hiperboloides de una y dos hojas y el cono, corresponden a:

Hiperboloide de una hoja

ContourPlot3D[x^2 + y^2 - z^2 == 1, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}, {z, -5, 5}]

Hiperboloide de dos hojas

ContourPlot3D[-x^2 - y^2 + z^2 == 1, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}, {z, -5, 5}]

Cono

ContourPlot3D[x^2 + y^2 - z^2 == 0, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}, {z, -5, 5}]

Todas las formas anteriores tienen simetría con respecto al eje z, y los valores de a, b y c representan que tanto la figura abre en los ejes x, y y z respectivamente.

Pregunta

¿A cuál figura de las anteriores corresponde la ecuación:
x^2 + y^2 - z^2 = p?

La mejor respuesta es : depende del valor que tome p.

Si p > 0 : es un hiperboloide de una hoja.

Si p < 0 : es un hiperboloide de dos hojas.

Si p = 0 : es un cono.

Veamos este comportamiento en un manipulate

Manipulate[ContourPlot3D[x^2 + y^2 - z^2 == p, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}, {z, -4, 4}], {p, -2, 2}]

Si p=-2:

Si p=0:

Si p=2:

Actividad

Realice manipulates para cada una de las anteriores figuras donde varié los valores de a, b, y c.

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