Números Intocables

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Son los números enteros positivos que NO son la suma de los divisores propios de ningún número.

Por Ejemplo : 1, es la suma de los divisores propios de cualquier número primo;  2, es intocable; 3, es la suma de los divisores propios de 4; 4, es la suma de los divisores propios de 9; 5, es intocable. Calculemos los números intocables entre los primeros 1000 enteros positivos.

La primera pregunta que se presenta es : Dado un número entero positivo n, ¿Qué tan grande debemos considerar los números entre los que vamos a buscar candidatos para que la suma de sus divisores propios generen al número inicial n?
No conozco un resultado matemático que nos pueda ayudar. Pero consideramos el cuadrado de un número primo, por ejemplo el 5, su cuadrado es 25, sus divisores propios {1,5}, que suman 1+5=6. Luego voy a considerar hasta (n-1)^2+2, el +2 es por los primeros números.

Forma 1

Hallaremos los números toc (tocables) los que se pueden obtener como suma de los divisores propios de otro número, para posteriormente tomar complemento del universo de los primeros mil enteros positivos y obtener el conjunto de los números intocables.

toc = {};
SetSharedVariable[toc]
ParallelDo[
 Do[If[DivisorSum[m, # &] == m + n, AppendTo[toc, n]; 
   n++], {m, (n - 1)^2 + 2}], {n, 1000}]
Complement[Range[1000], toc]

{2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 146, 162, 188, 206, 210, 216, 238, 246, 
248, 262, 268, 276, 288, 290, 292, 304, 306, 322, 324, 326, 336, 342, 372, 406, 408, 426, 430, 448, 472, 474, 498, 516, 518, 520, 530, 540, 552, 556, 562, 576, 584, 612, 624, 626, 628, 658, 668, 670, 708, 714, 718, 726, 732, 738, 748, 750, 756, 766, 768, 782, 784, 792, 802, 804, 818, 836, 848, 852, 872, 892, 894, 896, 898, 902, 926, 934, 936, 964, 966, 976, 982, 996}

Forma 2

Obtenemos todas las sumas de los divisores propios de los enteros menores que 3000 y luego realizamos el complemento con los números hasta 1000.

Complement[Range[1000], Table[Total[Divisors[n]] - n, {n, 1000000}]]

{2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 146, 162, 188, 206, 210, 216, 238, 246, 
248, 262, 268, 276, 288, 290, 292, 304, 306, 322, 324, 326, 336, 342, 372, 406, 408, 426, 430, 448, 472, 474, 498, 516, 518, 520, 530, 540, 552, 556, 562, 576, 584, 612, 624, 626, 628, 658, 668, 670, 708, 714, 718, 726, 732, 738, 748, 750, 756, 766, 768, 782, 784, 792, 802, 804, 818, 836, 848, 852, 872, 892, 894, 896, 898, 902, 926, 934, 936, 964, 966, 976, 982, 996}

En ambos códigos se realizan sumas de divisores de forma repetida, pero el segundo código es más rápido.

Conjetura

Observamos que 5 es un número intocable y el único impar de la lista, por tanto se conjetura:

El único número intocable impar es 5.

En el 2006 el matemático Frank Adam-Watters realiza una demostración de este hecho utilizando la Conjetura de Goldbach (de la que hablamos en la publicación del 2 de Octubre de 2016), es decir si la Conjetura de Goldbach es cierta 5 es el único número intocable impar.

Consideramos una versión ligeramente más fuerte de la Conjetura de Goldbach, que todo número par mayor que 6 se puede escribir como la suma de dos números primos diferentes.

Consideremos 2n+1 un número impar mayor que 7, como 2n es par utilizando la Conjetura tenemos que 2n=p+q, con p,q números primos diferentes. Así, los divisores propios de pq son 1,p y q, por tanto: 1+p+q=1+2n, y tenemos que, 2n+1 (número impar mayor que 7) no es un número intocable. Luego los únicos impares que pueden ser intocables son 1,3,5 y 7: 1, se obtiene de los divisores propios de 2; 3, de los de los de 4; 7 de los de 8. Por tanto:

Si la Conjetura de Goldbach es válida, 

el único número intocable impar es 5.

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