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martes, 26 de septiembre de 2017

Propiedad de los enteros a la quinta potencia


Al elevar a la quinta potencia un número entero las unidades del resultado coinciden con las unidades del entero inicial

La diferencia al elevar a la quinta potencia un entero positivo y su opuesto es el signo, por tanto realizaremos el estudio sólo para los enteros positivos, con cero es obvio que se cumple el resultado.

En búsqueda de excepciones, realizamos una comprobación entre el primer millón de enteros positivos:

aa = {};
Do[If[Last@IntegerDigits[n^5] != Last@IntegerDigits[n], 
  AppendTo[aa, n]], {n, 1000000}]
aa

{}

No encontramos ninguna excepción.

Demostración

Un número entero de n cifras lo podemos representar como




Al escribir su expansión decimal tenemos:








Al elevar este número A a la quinta potencia tenemos :

Expand[(10 X + a₀)^5]




que corresponde:





Por tanto, el dígito de las unidades de A⁵  será el mismo dígito de las unidades de a₀⁵, y para estos dígitos se tiene que:

TableForm[Table[{n^5, n}, {n, 0, 9}], TableAlignments -> Right]


Así, vemos que se cumple la propiedad que el dígito en las unidades al elevar a la quinta potencia es el mismo del dígito inicial.

Por tanto, se cumple esta misma propiedad para todos los enteros.


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