Números Inversos de Fibonacci

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Son los números enteros positivos que al calcularle su inverso multiplicativo tienen en sus cifras decimales no nulas los primeros términos de la sucesión de Fibonacci, de la cual hablamos en la entrada de Sucesiones Recurrentes.

Consideremos el número 9999999999999999999899999999999999999999 formado por 19 nueves, un ocho y veinte nueves, es decir en total tiene 40 cifras todas nueves excepto la número 20 que es un ocho. Determinemos las primeras 1000 cifras de su inverso multiplicativo:

N[1/9999999999999999999899999999999999999999, 1000]
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

si las tomamos en grupos de 20, tenemos:

lista = Partition[
  Rest[RealDigits[
     N[1/9999999999999999999899999999999999999999, 1000]][[1]]], 20]

Que transformándolos en números obtenemos la lista, que corresponde a los números de Fibonacci en las posiciones 2 a la 51:

Map[FromDigits, lista]

{1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040, 1346269, 2178309, 3524578, 5702887, 9227465, 14930352, 24157817, 39088169, 63245986, 102334155, 165580141, 267914296, 433494437, 701408733, 1134903170, 1836311903, 2971215073, 4807526976, 7778742049, 12586269025, 20365011074}

Primeros 51 términos de la sucesión de Fibonacci :

Table[Fibonacci[n], {n, 51}]

{1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040, 1346269, 2178309, 3524578, 5702887, 9227465, 14930352, 24157817, 39088169, 63245986, 102334155, 165580141, 267914296, 433494437, 701408733, 1134903170, 1836311903, 2971215073, 4807526976, 7778742049, 12586269025, 20365011074}

La razón tiene que ver con lo que ya explicamos en la entrada de Sucesiones Recurrentes, la sucesión de Fibonacci la podemos definir de forma recurrente como:

f (n+2) = f (n +1) + f (n) con f (1) = 1, f (0) = 1

es decir, un término se obtiene como la suma de los dos anteriores, donde los dos primeros son cero y uno. Al calcularle su función generatriz, obtenemos:

RSolve[{f[n + 2] == f[n + 1] + f[n], f[1] == 1, f[2] == 1}, f[n], n]

{{f[n] -> Fibonacci[n]}}

GeneratingFunction[Fibonacci[n], n, x]

Que al ser desarrollada como una serie de potencias, tiene como coeficientes la sucesión de Fibonacci:

Normal@Series[-(x/(-1 + x + x^2)), {x, 0, 20}]

x + x^2 + 2 x^3 + 3 x^4 + 5 x^5 + 8 x^6 + 13 x^7 + 21 x^8 + 34 x^9 + 
 55 x^10 + 89 x^11 + 144 x^12 + 233 x^13 + 377 x^14 + 610 x^15 + 
 987 x^16 + 1597 x^17 + 2584 x^18 + 4181 x^19 + 6765 x^20

Al calcular en la función generatriz, inversos de potencias de 10 obtenemos en el denominador los números inversos de Fibonacci:

g[1/10^20]

y al calcular inversos de las potencias de 10 en la serie se comprende la razón de la formación de la sucesión de Fibonacci en las cifras decimales de los números inversos de Fibonacci.

s[x_] := x + x^2 + 2 x^3 + 3 x^4 + 5 x^5 + 8 x^6 + 13 x^7 + 21 x^8 + 
  34 x^9 + 55 x^10 + 89 x^11 + 144 x^12 + 233 x^13 + 377 x^14 + 
  610 x^15 + 987 x^16 + 1597 x^17 + 2584 x^18 + 4181 x^19 + 6765 x^20

N[s[1/10^10], 200]

1.00000000010000000002000000000300000000050000000008000000001300000000
2100000000340000000055000000008900000001440000000233000000037700000006
1000000009870000001597000000258400000041810000006765000000000*10^-10



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