Frase Célebre de Nikola Tesla

Nuestras virtudes y nuestros defectos son inseparables,
como la fuerza y la materia.
Cuando se separan el hombre no existe.

Nikola Tesla

Teorema de los Primos de la forma 4 n + 1

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Todo número primo de la forma 4 n + 1 se puede expresar como la suma de dos cuadrados.

Fue conjeturado primero por Pierre de Fermat en el año de 1640 y posteriormente demostrado por Leonard Euler en el año de 1749.

Calculamos de los números de la forma 4 n + 1 cuales son primos para n entero positivo hasta 200.

primos = {};
Do[If[PrimeQ[4 n + 1], AppendTo[primos, 4 n + 1]], {n, 200}]

Determinamos para los números primos anteriores como es su escritura de acuerdo al Teorema:

teorema = {};
Do[m = 1; 
 While[primos[[n]] > 2 m^2, 
  If[IntegerQ[Sqrt[primos[[n]] - m^2]], 
   AppendTo[
    teorema, {primos[[n]] "=" Power[HoldForm@Evaluate[m], 2] + 
      Power[HoldForm@Evaluate[Sqrt[primos[[n]] - m^2]], 2]}]]; 
  m++], {n, Length[primos]}]
Partition[Flatten[teorema], 4] // TableForm

Ahora, para n entero positivo menor de 20000 vamos a buscar si existe alguno que no se pueda representar de acuerdo al Teorema.

primos = {};
Do[If[PrimeQ[4 n + 1], AppendTo[primos, 4 n + 1]], {n, 200000}]

teorema = {};
Do[m = 1; 
 While[primos[[n]] > 2 m^2, 
  If[IntegerQ[Sqrt[primos[[n]] - m^2]], 
   AppendTo[teorema, primos[[n]]]]; m++], {n, Length[primos]}]
Complement[primos, teorema]

{ }

Como obtenemos vacío indica que, como se esperaba pues es un Teorema, no existen números que la incumplan.

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Frase Célebre de Michael Atiyah

Matemáticas es más simple (que la química)...
usted no necesita memorizar nada.

Michael Atiyah

Frase Célebre de Neil DeGrasse Tyson

Un científico es un niño que nunca creció.

Neil DeGrasse Tyson

Representaciones numéricas del 2019

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Generado a partir de 2

2222 - 222 + 22 - 2 - 2/2
2019

2^(22/2) - 2×2×2×2×2 + 2 + 2/2
2019

((222 - 22 + 2)×(22 - 2) - 2)/2
2019

Generado a partir de 3

(3 + 3)×(333 + 3) + 3
2019

Generado con los primeros diez enteros positivos

10×9×8×7/6/5×4×3 + 2 + 1
2019

Generado con las cifras de los nueve primeros números impares

1×3×((57 + 9 + 1 + 1)×1×(3 + 1 + 5 + 1) - 7)
2019

Generado con las cifras del 1 al 11

(1 + 11 + 0 + 9 + 8 + 7 + 65)×4×(3 + 2) - 1
2019

(1 + 110 + 9 + 8 + 7)×(6 + 5 + 4) - 3 - 2 - 1
2019

Generado con las cifras de los números primos menores o iguales a 29 

(2 + 3 + 5 + 7 + 1)×(113 + 1) - (7 + 1 + 9 + 2 + 3 + 2 + 9)
2019

Generado con las cifras de los números primos menores o iguales a 31 

23×(5 + 7 + 1 + 1 + 1)×(3 + 1 + 7) - (192 + 3 + 2)×9 - 3×1
2019

Generado con las primeras 13 cifras del número áureo

N[GoldenRatio, 14]
1.6180339887499

1618 + 0 + 339 + 8×8 - 7 - 4 + 9
2019

Generado con las primeras 15 cifras del número de Euler

N[E, 16]
2.718281828459045

271×8 + 2×81 - 82×(8 - 4) + 5 + 9 - 0! + 4
2019

Generado con las primeras 17 cifras del número Pi

N[Pi,18]
3.14159265358979324

314×(1 - 5 + 9) + 265 + 35×8 - 97 + 9/3 - 2
2019

Generado con las primeras 17 cifras del número de bronce que corresponde a la solución positiva de la ecuación x^2-3x-1=0.

x /. Solve[x^2 - 3 x - 1 == 0, x][[2, 1]]

3.30277563773199465

3302 - 7×75 - 637 - 7×(3 + 19) + 9 + 4×6
2019

Generado con las primeras 18 cifras de raíz cuadrada de dos

N[Sqrt[2], 19]
1.414213562373095049

1414 + 21×35 - 62 - 37 - 30 - (9 - 5 - 0)/4
2019

Generado con las primeras 18 cifras de raíz cuadrada de tres

N[Sqrt[3], 19]
1.732050807568877294

1732 + 0 + 50×8 + 0 - 7×5 - 68 - 87 + 7×(2 + 9)
2019

Generado a partir de factoriales

6!×2! + (5! + 4!)×(2! + 2!) + 2! + 1!
2019

(4! - 1!)×5! - 6! - 4! + 2! + 1!
2019

4!×(1! + 3!)×2!×3! + 2! + 1!
2019

Es el número más pequeño que se puede escribir de seis formas diferentes como la suma de cuadrados de tres primos.

suma = Table[
   Prime[n]^2 + Prime[m]^2 + Prime[p]^2, {n, 20}, {m, n}, {p, m}];
Select[Tally@Flatten[suma], #[[2]] > 5 &]

{{2019, 6}, {2091, 6}, {2259, 7}, {2499, 6}, {2859, 7}, 
{3099, 6}, {3579, 6}, {3699, 7}, {3219, 6}, {3339, 6}, {3891, 8}, {4011, 6}, {4731, 7}, {4059, 9}, {4179, 6}, {3819, 7}, {5211, 7}, {4539, 8}, {5379, 10}, {4131, 6}, {3939, 6}, {5019, 6}, {5739, 6}, {4611, 6}, {5139, 7}, {5451, 8}, {5859, 7}, {5619, 8}, {5979, 6}, {6699, 7}, {6459, 7}, {5691, 8}, {6531, 6}, {7251, 7}, {8811, 6}}

representacion = {};
Do[If[Prime[n]^2 + Prime[m]^2 + Prime[p]^2 == 2019, 
  AppendTo[representacion, {Prime[n], Prime[m], Prime[p]}]], {n, 
  20}, {m, n}, {p, m}]
representación

{{31, 23, 23},{37, 19, 17},{37, 23, 11},{41, 13, 13},{41, 17, 7}, {43, 11, 7}}

Clear[f]
f[{x_, y_, z_}] := x^2 + y^2 + z^2

Map[f, representacion]
{2019, 2019, 2019, 2019, 2019, 2019}

Así,

Es un número Feliz, de acuerdo a la publicación https://ustamathematica.blogspot.com/search/label/Feliz del 12 de mayo del 2017, la suma de los cuadrados de las cifras y repitiendo el proceso con el resultado y así sucesivamente el resultado es uno.

ft[n_] := Total@Power[IntegerDigits[n], 2]

NestList[ft, 2019, 3]
{2019, 86, 100, 1}

Ojala, sea un Feliz año de verdad.

Tomados la mayoría de @connumeros de Antonio Roldán.


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