Otra propiedad de las parejas de primos gemelos

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Ya en la publicación del 10 de Octubre de 2016 habíamos hablado de las parejas de primos gemelos, que son las parejas de primos que difieren en dos unidades, por ejemplo {3,5}, {5,7},{11,13}, etc. Allí mencionamos la conjetura de la existencia de infinitas parejas de primos gemelos.

En Mathematica elaboramos el siguiente código para determinar parejas de primos gemelos menores a 1000:

primergemelo = 
  Select[Range[1000], PrimeQ[#] && NextPrime[#] == 2 + # &];
Transpose[{primergemelo, primergemelo + 2}]

{{3, 5}, {5, 7}, {11, 13}, {17, 19}, {29, 31}, {41, 43}, {59, 
  61}, {71, 73}, {101, 103}, {107, 109}, {137, 139}, {149, 151}, {179,181}, {191, 193}, {197, 199}, {227, 229}, {239, 241}, 
{269, 271}, {281, 283}, {311, 313}, {347, 349}, {419, 421}, 
{431, 433}, {461, 463}, {521, 523}, {569, 571}, {599, 601}, 
{617, 619}, {641, 643}, {659, 661}, {809, 811}, {821, 823}, 
{827, 829}, {857, 859}, {881, 883}}

Ahora, establecemos la siguiente propiedad:

El producto de parejas de primos gemelos más uno 

es un cuadrado perfecto.

Fácilmente vemos que esta es una propiedad que cumplen todos los enteros, en particular los números primos. Tenemos que:

Si X es un número entero obtenemos un cuadrado perfecto.

Ahora, ¿Será la reciproca cierta?

Si el producto de dos números primos más uno es un cuadrado perfecto entonces son una pareja de primos gemelos.

Entre los primeros 1000 primos al multiplicarlos y sumarles uno encontramos 174 cuadrados perfectos,

cuadrado = {};
Do[If[IntegerQ[Sqrt[Prime[k] Prime[n] + 1]], 
  AppendTo[cuadrado, {Prime[k], Prime[n]}]], {n, 1000}, {k, n}]
Length[cuadrado]

174

y todos corresponden a parejas de números primos.

Select[cuadrado, #[[2]] != #[[1]] + 2 &]

{ }

Ejercicio

Demuestre que la anterior propiedad es cierta.


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