Un hombre desea ir desde el punto A hasta el punto B atravesando un río de orillas paralelas y rectas de tres kilómetros de ancho. La orilla del río entre C, proyección perpendicular del punto A sobre el río, y B es de ocho kilómetros.
Determinar la ubicación del punto P, en términos de la distancia X al punto C, tal que si la velocidad nadando por el río de A a P es Vn y la velocidad corriendo por la orilla del río de P a B es Vc el tiempo sea mínimo.
Graphics[{{LightBlue, Rectangle[{0, 0}, {8, 1}]}, {PointSize[0.01],
Point[{0, 1}], Point[{0, 0}], Point[{8, 1}], Point[{4, 1}]},
Text["P", {4, 1.2}], Text["A", {-0.2, -0.2}],
Text["C", {-0.2, 1.2}],
Text["Nadando", {2, 0.6}, Automatic, {4, 1}],
Text["Corriendo", {6, 1.2}], Text["X", {2, 1.3}],
Text["B", {8, 1.2}], Text["8 Kms.", {4, -1}],
Text["3 Km.", {9, 0.5}], {Arrowheads[Small],
Arrow[{{0, -0.5}, {8, -0.5}}]}, {Arrowheads[0.02, -0.01],
Arrow[{{0, 1.2}, {3.9, 1.2}}]}, {Arrowheads[Small],
Arrow[{{8.5, 0}, {8.5, 1}}]}, {Red,
Line[{{0, 0}, {4, 1}, {8, 1}}]}}, Axes -> False]
Sabemos que velocidad es espacio sobre tiempo por tanto tiempo es igual a distancia sobre velocidad, y el tiempo total es la suma de los dos tiempos empleados nadando y corriendo.
El tiempo en función de X está dado por:
El tiempo mínimo es:
Tomamos la solución positiva, y al calcularla en T, obtenemos:
Si la velocidad nadando Vn es mayor o igual que la velocidad corriendo Vc, la solución es nadar directo de A hasta B. Así vamos a suponer que Vc > vn.
En el siguiente aplicativo vamos a manipular las velocidades y la posición del punto P, y cuando lo deseemos nos va a mostrar en ambas gráficas el punto mínimo donde se debe ubicar P.
Observemos, antes de activar la ubicación del punto mínimo, el comportamiento de la gráfica del tiempo vs. la distancia X conforme cambiamos las velocidades e intentemos predecir el comportamiento del punto mínimo al variar las velocidades. Luego activemos el punto mínimo y corroboremos nuestras predicciones.
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