Frase Célebre de Claudi Alsina

La matemática rigurosa se hace con la mente,
la matemática hermosa se enseña con el corazón.

Claudi Alsina

Función Lineal

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Pendiente

Muestra que la pendiente de una recta es independiente de la elección de los puntos sobre la recta que se tomen.

a = 1; c = 3;

Manipulate[p = m (c - a); q = (c - a); 

 Show[Plot[m x + b, {x, -5, 5}, PlotRange -> {{-5, 5}, {-5, 5}}, 

   GridLines -> All, AspectRatio -> 1, 

   PlotLabel -> 

    Row[{"m =∆y/∆x = ", Defer[ Dynamic[p] /Dynamic[q]], 

      " = ", m }]], 

  Graphics[{Locator[Dynamic[{a, m a + b}]], 

    Locator[Dynamic[{c, m c + b}]], Point[{0, b}], Red, 

    Text[Row[{"b =", b}], {-0.7, b}], Dashed, 

    Line[{{a, m a + b}, {c, m a + b}, {c, m c + b}}], Blue, 

    Text[Row[{"∆y = ", p}], {c + 0.5, 

      m (c - a)/2 + m a + b}], 

    Text[Row[{"∆x = ", q}], {(c - a)/2 + a, 

      m a + b - 0.5}]}]], {{m, 1, "Pendiente: m"}, -3, 3, 

  Appearance -> "Open"}, {{b, 0, "Y-Intercepto: b"}, -3, 3}]

Forma pendiente (m) con y - Intercepto (b).

Ecuación de la recta en su forma pendiente (m) e intercepto con el eje y (b).

Manipulate[

 Show[Plot[m x + b, {x, -5, 5}, PlotRange -> {{-5, 5}, {-5, 5}}, 

   GridLines -> All, AspectRatio -> 1, 

   PlotLabel -> Row[{"y = ", TraditionalForm[m x + b] }]], 

  Graphics[{Point[{0, b}], Red, Text[Row[{"b =", b}], {-0.7, b}], 

    Dashed, Line[{{0, b}, {1, b}, {1, m + b}}], 

    Text[Row[{"m=", m}], {1.65, b + m/2}], 

    Text["1", {0.5, b - Sign[m] 0.25}]}]], {{m, 1, 

   "Pendiente: m"}, -3, 3, 0.5}, {{b, 0, "Y-Intercepto: b"}, -3, 3, 

  0.5}]

Forma pendiente (m) y un punto de la recta(x₀,y₀)

La ecuación general de la recta dada la pendiente (m) y un punto de la recta (x₀,y₀) es:

y - y₀ = m (x - x₀)

o, de forma equivalente :

m=(y-y₀)/(x-x₀)

Manipulate[b = -m p[[1]] + p[[2]]; 

 Show[Plot[m (x - p[[1]]) + p[[2]], {x, -5, 5}, 

   PlotRange -> {{-5, 5}, {-5, 5}}, GridLines -> All, 

   AspectRatio -> 1, 

   PlotLabel -> 

    Column[{Row[{"m = ", Defer[ Dynamic[m] /Dynamic[1]], " = ", m}], 

      Row[{"y  = ", 

        TraditionalForm[Expand[m (x - p[[1]]) + p[[2]]]] }]}]], 

  Graphics[{Red, Dashed, 

    Line[{{0, b}, {p[[1]], b}, {p[[1]], m p[[1]] + b}}], 

    Text[m p[[1]], {p[[1]] + 0.5, 0.5 m p[[1]] + b}], 

    Text[p[[1]], {0.5 p[[1]], b - Sign[m] 0.25}]}]], {{m, 1, 

   "Pendiente: m"}, -3, 3, 0.5}, {{p, {1, 1}}, Locator}]

La pendiente se puede interpretar como en cambio en y cuando en x el cambio es de una unidad.

Para aprender más sobre Mathematica ingrese aquí sitio de aprendizaje de Wolfram o en mi website ustamathematica.wixsite.com/basicas

Multiplicación mediante una parábola

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Representamos la parábola y = - x² y ubicamos sobre ella los puntos (a,-a²) y (b,-b²), el corte de la recta que pasa por ellos con el eje Y corresponde al punto (0,a b), es decir su altura es el producto de a y b. 

Manipulate[
 Show[Plot[{-x^2, -(a + b) x + a b}, {x, -10, 10}, PlotRange -> 105], Graphics[{{Blue, Point[{a, 0}], Point[{b, 0}]}, 
    Text["y = x²", {-8, -85}],{Green, Text[a, {a, 8}], Blue, 
   Text[b, {b, If[Abs[a - b] > 1, 8, -8]}]}, {Red, Point[{a, -a^2}],
   Point[{b, -b^2}], Point[{0, a b}], Text[a b, {1.5, a b}]}, {Pink, Dashed, Line[{{a, 0}, {a, -a^2}}],Line[{{b, 0}, {b, -b^2}}]}}]], {{a, 10, "Número: a"}, -10, 10}, {{b, 5, "Número: b"}, -10, 10}]

La razón  es simple, la ecuación de la recta que pasa por (a,-a²) y (b,-b²), es:

Y = -(a + b) X + a b,

de donde cuando X = 0, corte con el eje Y, tenemos Y = a b.

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