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Función área bajo la curva
Dada la función f(t)=t, definimos la función que calcula el área bajo la curva entre 0 y x:
s[x_] := Integrate[t, {t, 0, x}]
Manipulate[
Row[{Show[
Plot[t, {t, 0, 10}, PlotLabel -> Row[{"s(", x, ") = ", s[x]}],
ImageSize -> Small], Plot[t, {t, 0, x}, Filling -> Axis]],
Plot[s[a], {a, 0, x}, PlotRange -> {{0, 10}, {0, 50}},
ImageSize -> Small, PlotLabel -> "s(x)"]}], {x, 0.0001, 9}]
Visualización de la relación entre el área bajo la curva y la pendiente de la recta tangente
f1[x_] := x^2
g1[x_] := 2 x
f2[x_] := Sin[x]
g2[x_] := Cos[x]
Manipulate[f = Switch[g, g1, f1, g2, f2];
s[x_] := N[Integrate[g[t], {t, 0, x}], 2];
Row[{Show[
Plot[g[t], {t, -1.5, 10},
PlotLabel ->
Row[{"Area Sombreada = ", Text[Style[N[s[x], 2], Green]]}],
ImageSize -> 300], Plot[g[t], {t, 0, x}, Filling -> 0],
Graphics[{{Red, Dashed,
Line[{{x, 0}, {x, g[x]}, {0, g[x]}}]}, {Red,
Text[g[x], {-0.5, g[x]}]}}]],
Show[Plot[f[t], {t, -1.5, 10}, ImageSize -> 300,
PlotLabel ->
Row[{"Pendiente de la recta tangente = ",
Text[Style[f'[x], Red]]}]],
Plot[f'[x] (t - x) + f[x], {t, -1, 10}],
Graphics[{{Green, Dashed,
Line[{{x, 0}, {x, f[x]}, {0, f[x]}}]}, {Green,
Text[N[f[x], 2], {-0.8, f[x]}]}}]]}], {x, 0.5,
9}, {{g, g1,
"Función"}, {g1 -> "2x y x²",
g2 -> "Cos(x) y Sen(x)"}}, ContentSize -> {700, 260}]
Integral vs. Derivada
La altura de la primera es la pendiente de la recta tangente de la segunda, y la altura de la segunda es el área bajo la curva acumulada de la primera.
Así, vemos que: Pendiente de la recta tangente y Area bajo la curva, son problemas relacionados.
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