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viernes, 17 de febrero de 2017

Conjetura de Pólya



Se debe al matemático húngaro George Pólya quien la formuló en 1919, él es famoso por dedicar la mayor parte de su vida productiva a enseñar como resolver problemas, es famoso su libro "Cómo plantear y resolver problemas" (How to solve it).

Diremos que un número es de tipo par si en su factorización en números primos aparecen un número par de primos. Por ejemplo, 6 = 2∙3 es un número de tipo par.

Y diremos que un número de de tipo impar si el número de primos de su factorización es impar. Por ejemplo, 18 = 2∙3∙3 es de tipo impar (se considera que 1 es de tipo par).

Sea n cualquier número natural.Consideremos los siguientes números :

   P (n) = número de enteros positivos menores o iguales que n que son de tipo par
   I (n) = número de enteros positivos menores o iguales que n que son de tipo impar

Por ejemplo consideremos n = 7.

En este caso: I (7) = 4 (el 2, el 3, el 5 y el propio 7) y P (7) = 3 (el 1, el 4 y el 6).

Entonces I (7) > P (7).Para n = 6 : I (6) = 3 y P (6) = 3. Por tanto I (6) = P (6).

En 1919 George Polya propuso el siguiente resultado, conocido desde entonces como conjetura de Polya :

Para todo n > 2 se tiene que I (n) es mayor o igual que P (n)

Nadie pudo dar una demostración de la veracidad o falsedad del enunciado, pero en los años posteriores se comprobó que era cierto para todo n hasta 1.000 .000, razón por la cual se pensaba que la conjetura era cierta ... pero no.

En 1958 C. B. Haselgrove demostró que la conjetura era falsa pero no determinó un contra ejemplo.

En 1960, R. S. Lehman encontró un contraejemplo : para n = 906180359 se tiene que:
 I (n) = P (n)₋1, y por tanto : I (906180359) < P (906180359)

El contraejemplo más pequeño que se conoce es el caso n = 906150257, encontrado por Tanaka en 1980.

Por tanto la conjetura de Polya es falsa.

En Mathematica

Definimos la función primos[] que nos da cuantos números primos tiene cada descomposición

primos[1] := 0; primos[n_] := Total@Last@Transpose@FactorInteger[n]

Pero Mathematica tiene definida la función PrimeOmega[] que nos da el número de factores primos teniendo  en cuenta multiplicidades, podemos definir cuando un número es e tipo par, como:

par[n_] := Length@Select[PrimeOmega[Range[n]], EvenQ]

Definimos la función de polya[ ], que nos da cero si es verdad la Conjetura de Polya

polya[n_] := If[par[n] <= n/2, 0, 1]

polya[10]
0

Una forma de buscar si hay números que la incumplan antes de un número dado

buscar[k_] := Total@Table[polya[n], {n, 2, k, 1}]

buscar[1000]
0

Calculando los dos primeros contra ejemplos que se tienen y con un largo tiempo de computo:

polya[906180359]
1

polya[906150257]
1

Para aprender más sobre Mathematica ingrese aquí sitio de aprendizaje de Wolfram o en mi website ustamathematica.wixsite.com/basicas



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