Entrada destacada

Caminos entre Esquinas de un Cuadrado

viernes, 26 de mayo de 2017

El Triángulo de Pascal


Se debe al filósofo, matemático y físico francés Blaise Pascal (1623-1662), por afición a los juegos de azar estudia la teoría de la probabilidad teniendo intercambio de comunicaciones sobre el tema con Pierre de Fermat, en 1654 publica sobre el Triángulo de Pascal (que llamó triángulo aritmético) y los coeficientes binomiales. Cabe destacar que aquí introdujo la demostración por el principio de inducción. También en 1642 inventó la Rueda de Pascal considerada como la primera calculadora.

El problema que le ocupaba en probabilidad era la cantidad de posibles repartos en una mano de cartas: si se tienen cuatro cartas y voy a tomar un subconjunto, sin importar el orden, ¿Cuántos subconjuntos diferentes puedo obtener?

De cero elementos, solo uno el conjunto vacío; de un elemento, cuatro subconjuntos, cada uno con una carta; de tres elementos, cuatro subconjuntos, es análogo al anterior pues al tomar uno es como dejar un subconjunto de tres; de cuatro solo puedo tomar uno, todo el conjunto. El problema es de dos cartas, sea el conjunto:

cartas = {a, b, c, d};

Subsets[cartas, {2}]
{{a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d}, {c, d}}

se obtienen seis subconjuntos,verifiquemos los anteriores repartos:

Subsets[cartas, {0}]
{{}}

Subsets[cartas, {1}]
{{a}, {b}, {c}, {d}}

Subsets[cartas, {3}]
{{a, b, c}, {a, b, d}, {a, c, d}, {b, c, d}}

Subsets[cartas, {4}]
{{a, b, c, d}}

Pascal construye un triángulo donde la fila 0 tiene un uno, la fila 1 tiene dos unos, la fila 2 tiene tres elementos dos unos en los extremos y el de en medio es dos que corresponde a la suma de los dos unos de la fila 1 que están encima de él, y así sucesivamente.

Por tanto, definimos la función tp[n,k] donde n es el número de la fila y k toma valores desde cero hasta n es la posición del elemento en la fila. Los dos extremos son unos, y los demás elementos son la suma de los elementos encima de él en la fila anterior.

tp[n_, 0] := 1; tp[n_, n_] = 1;
tp[n_, k_] := tp[n - 1, k - 1] + tp[n - 1, k]

Manipulate[
 Pane[Text@
   TraditionalForm[
    Column[{Grid[{{Column[
          Table[Row[Table[tp[i, j], {j, 0, i}], "   "], {i, 0, n}],
          Center]}}]}]], {550, 200},
  Alignment -> {Center, Top}], {{n, 7}, 0, 8, 1}]















Manipulate[
 Pane[Text@
   TraditionalForm[
    Column[{Grid[{{Column[
          Table[Row[Table[tp[i, j], {j, 0, i}], "   "], {i, 0, n}],
          Center], "          ",
         Column[Table[Row[Table[Binomial[i,j], {j, 0, i}]], {i, 0, n}], Center]}}]}]], {720, 450},
   Alignment -> {Center, Top}], {{n, 7}, 0, 8, 1}]
















Definimos el Binomial de n con k,  por:





en Mathematica Binomial[n, k]

Binomial[4, 2]
6

Un uso clásico del triángulo de Pascal es para determinar los coeficientes de la expansión de la expresión (a+b)^n, por ejemplo:




es fácil observar que la suma de los exponentes siempre es 4, el exponente de las a va decreciendo y el de las b creciendo y se obtienen 4 + 1 términos. Pero ¿Qué números van dentro de los paréntesis? La respuesta es sencilla como estamos elevando a la cuarta potencia tomamos los elementos de la cuarta fila del Triángulo de Pascal que son {1,4,6,4,1} y obtenemos:




Así,




esto se conoce como el Binomio de Newton, que en general se enuncia como:






Manipulate[
 Pane[Text@
   TraditionalForm[
    Column[{Grid[{{Column[
          Table[Row[Table[tp[i, j], {j, 0, i}], "   "], {i, 0, n}],
          Center],
         Column[Table[Row[Table[Binomial[i,j], {j, 0, i}]], {i, 0, n}], Center]}}], "",
      With[{n = n},
       HoldForm[(a + b)^n] == Expand[(a + b)^n]]}]], {550, 425},
  Alignment -> {Center, Top}], {{n, 4}, 0, 8, 1}]



















Propiedades del Triángulo de Pascal

1. Es simétrico con respecto a vertical que se traza con el uno superior.





2. Después de los unos en cada lado sigue una diagonal con los enteros positivos.

3. Si sumamos todos todos los elementos de cada fila obtenemos 2 elevado al número de la fila:







en general,





2ⁿ

4. Por su construcción se obtiene que :




Los manipulates fueron adaptados de
http : // demonstrations.wolfram.com/PascalsTriangleAndTheBinomialTheorem/


Para aprender más sobre Mathematica ingrese aquí sitio de aprendizaje de Wolfram o en mi website ustamathematica.wixsite.com/basicas


No hay comentarios.:

Publicar un comentario