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Caminos entre Esquinas de un Cuadrado

martes, 19 de diciembre de 2017

Problema Relacionado con la Constante Áurea



Dados un cuadrado de lado L y media circunferencia con diámetro uno de los lados, determinar la razón entre el lado del cuadrado y la distancia de un vértice del cuadrado, fuera de la circunferencia, y la circunferencia.

Llamemos P a uno de los vértices del cuadrado, fuera de la circunferencia, O al centro de la circunferencia y d la distancia de P a la circunferencia.

gra1 = Graphics[{Line[{{1/2, 0}, {1/2, 1}, {-1/2, 1}, {-1/2, 0}, {1/2,0}}], Line[{{0, 0}, Sqrt[2]/4 {1, 1}}], {Red, Dashed, 
     Line[{{0, 0}, {0.5, 1}}]}, Text["L/2", {1/4, 1/8}], Text["P", {0.47, 0.96}], Text["d", {0.33, 0.7}], {PointSize[Large], 
     Point[{0, 0}], Point[{0.218, 0.449}], Point[{0.5, 1}]}, 
    Text["O", {-0.05, 0.05}], {Arrowheads[{-.05, .05}], Arrow[{{9/16, 0}, {9/16, 1}}],Text["L", {10/16, 1/2}], 
     Arrow[{{-1/2, 17/16}, {1/2, 17/16}}]}, Text["L", {0, 18/16}]}];
Show[ContourPlot[{x^2 + y^2 == 1/4}, {x, -10/16, 10/16}, {y, 0, 10/8},Frame -> None, Axes -> False, AxesLabel -> None, 
  Ticks -> None], gra1]



Como la distancia de P(L/2,L) a O(0,0) es igual a d+L/2, entonces:

Clear[d, L]
Reduce[{EuclideanDistance[{L/2, L}, {0, 0}] == d + L/2, d > 0, 
  L > 0}, {L}, Reals]







Así,



Por tanto, la razón entre el lado del cuadrado y la distancia del vértice a la media circunferencia inscrita es la constante áurea.



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