Teorema de Pick

Descargar como Notebook

Se debe al matemático Austriaco Georg Alexander Pick, de ascendencia judía y victima del holocausto nazi, quien lo publicó en 1899. El teorema da una fórmula para determinar el área A de los polígonos simples (no se auto cruzan, es una región conexa) cuyos vértices tienen coordenadas enteras, determinando el número de puntos con coordenadas enteras en su frontera fr y en su interior int, la fórmula es:

A = int - 1 + fr/2

En Mathematica

Lo desarrollaré sobre una cuadrícula 10x10 que contiene sus bordes, los puntos fr (frontera) se pintan de azul y los puntos int (interiores) de verde.

La función RegionBoundary[ ] nos determina los puntos sobre la frontera del polígono y la función RegionMember[ ] nos dice si un punto pertenece o no a la región.

puntos = Flatten[Table[{i, j}, {i, 0, 10}, {j, 0, 10}], 1];
Manipulate[pts = Floor[pts];
 pol = Polygon[pts]; int = {}; fr = {};
 a = 0; Do[
  Which[RegionMember[RegionBoundary[pol], puntos[[n]]], 
   AppendTo[fr, puntos[[n]]], 
   Head[RegionMember[pol, puntos[[n]]]] === RegionMember, a++, 
   RegionMember[pol, puntos[[n]]], AppendTo[int, puntos[[n]]]], {n, 
   121}];

 Grid[{{Grid[{{"Puntos interiores", Length[int]}, {"Puntos frontera", 
       Length[fr]}, {"Area=int-1+fr/2", 
       If[a == 0, (Length[int] - 1 + 
           Length[fr]/2) "\!\(\*SuperscriptBox[\(Unid\), \(2\)]\)", 
        "El polígono no es simple"]}}], 
    Graphics[{PointSize[0.04], Blue, Point[fr], Green, Point[int], 
      Pink, Opacity[0.2], EdgeForm[Directive[Dashed, Thick, Red]], 
      pol}, Axes -> True, GridLines -> {Range[0, 10], Range[0, 10]}, 
     PlotRange -> {{0, 10}, {0, 10}}, 
     ImageSize -> Large]}}], {{pts, {{0, 0}, {5, 9}, {10, 0}}}, 
  Locator, ContinuousAction -> False, LocatorAutoCreate -> True}, 
 SaveDefinitions -> True]

Se pueden mover los vértices capturándolos con el Mouse, y crear nuevos vértices con Alt+Click en Windows y Command+Click en Mac.

Para aprender más sobre Mathematica ingrese aquí sitio de aprendizaje de Wolfram o en mi website ustamathematica.wixsite.com/basicas