Conjetura de Gilbreath

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Propuesta por el matemático Norman Gilbreath en el año de 1958, aunque después se supo que en 1878 ya había sido propuesta por François Proth quien además la probó de forma errónea.

Consideremos una lista de los primeros números primos, y realizamos la resta de cada uno con el siguiente tomando valor absoluto, obtenemos una lista con un elemento menos. Realizamos este procedimiento hasta que obtengamos una lista con un sólo elemento.

Conjetura

Los primeros elementos de todas las listas anteriores son unos.

En Mathematica

Calculamos los primeros 25 números primos :

primos = Table[Prime[n], {n, 25}]
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}

Consideramos el siguiente código donde primero definimos el conjunto listas={primos} donde vamos a ir guardando las listas que vamos obteniendo, primos será la única lista que no comienza en 1. Definimos también la operación difer[p] que realizará la resta entre los elementos consecutivos tomando al final valor absoluto.

listas = {primos};
difer[p_] :=
 Table[Abs[listas[[p, k + 1]] - listas[[p, k]]], {k,
   Length[listas[[p]]] - 1}]
Do[AppendTo[listas, difer[p]], {p, Length[primos] - 1}]
TableForm[PadLeft[listas, {Length[primos], Length[primos]}, " "]]

Inicialmente se puede pensar que es obvio, pues como todos salvo el primero son números impares al ir restando se debe llega a 2, y como el primer elemento es 1 pues la diferencia será 1. Pero supongamos que los primeros elementos fueran:

primos = {2, 3, 7, 11, 17, 19};

no estamos considerando: 5 y 13 como primos.

listas = {primos};
difer[p_] :=
 Table[Abs[listas[[p, k + 1]] - listas[[p, k]]], {k,
   Length[listas[[p]]] - 1}]
Do[AppendTo[listas, difer[p]], {p, Length[primos] - 1}]
TableForm[PadLeft[listas, {Length[primos], Length[primos]}, " "]]

Luego ya no es tan obvia la Conjetura de Gilbreath. El matemático húngaro Paul Erdös afirmó que era cierta pero que le tomaría unos 200 años en resolverla (demostrarla). El matemático Andrew Odlyzko probó en 1993 que es cierta para los primos menores de 3.4*10^11.


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