Estudiaremos la siguiente conjetura:
Existen infinitos números primos de la forma n^2+1, con n natural.
Vamos a buscar entre el primer millón de números primos cuales de ellos tienen la característica de ser de la forma n^2+1. Para esto pedimos que seleccione los números primos que cumplen que:
numero = 1000000;
lista = {};
Do[If[IntegerQ@Sqrt[Prime[n] - 1], AppendTo[lista, Prime[n]]], {n,
numero}];
lista
{2, 5, 17, 37, 101, 197, 257, 401, 577, 677, 1297, 1601, 2917, 3137, 4357, 5477, 7057, 8101, 8837, 12101, 13457, 14401, 15377, 15877, 16901, 17957, 21317, 22501, 24337, 25601, 28901, 30977, 32401, 33857, 41617, 42437, 44101, 50177, 52901, 55697, 57601, 62501, 65537, 67601, 69697, 72901, 78401, 80657, 90001, 93637, 98597, 106277, 115601, 122501, 147457, 148997, 156817, 160001, 164837, 176401, 184901, 190097, 193601, 197137, 215297, 217157, 220901, 224677, 240101, 246017, 287297, 295937, 309137, 324901, 331777, 341057, 352837, 401957, 404497, 414737, 417317, 427717, 454277, 462401, 470597, 476101, 484417, 490001, 495617, 509797, 512657, 547601, 562501, 577601, 583697, 608401, 614657, 665857, 682277, 739601, 746497, 792101, 820837, 828101, 846401, 864901, 876097, 894917, 902501, 921601, 933157, 972197, 1008017, 1020101, 1073297, 1110917, 1123601, 1136357, 1144901, 1166401, 1196837, 1201217, 1223237, 1263377, 1299601, 1308737, 1313317, 1322501, 1336337, 1378277, 1382977, 1401857, 1464101, 1547537, 1552517, 1623077, 1628177, 1664101, 1674437, 1705637, 1726597, 1731857, 1742401, 1752977, 1795601, 1822501, 1833317, 1865957, 1887877, 1893377, 1943237, 1976837, 1988101, 2005057, 2016401, 2044901, 2056357, 2073601, 2119937, 2131601, 2232037, 2262017, 2322577, 2390117, 2402501, 2421137, 2446097, 2452357, 2464901, 2483777, 2496401, 2515397, 2604997, 2611457, 2689601, 2702737, 2735717, 2755601, 2768897, 2802277, 2808977, 2835857, 2842597, 2890001, 2944657, 3013697, 3083537, 3118757, 3147077, 3182657, 3204101, 3218437, 3297857, 3326977, 3422501, 3459601, 3496901, 3519377, 3549457, 3587237, 3648101, 3686401, 3763601, 3857297, 3865157, 3880901, 3896677, 3920401, 3960101, 4024037, 4104677, 4137157, 4202501, 4218917, 4227137, 4260097, 4301477, 4326401, 4343057, 4351397, 4384837, 4393217, 4435237, 4477457, 4494401, 4519877, 4562497, 4639717, 4726277, 4884101, 4946177, 5107601, 5134757, 5225797, 5262437, 5308417, 5336101, 5354597, 5382401, 5410277, 5428901, 5456897, 5541317, 5569601, 5664401, 5779217, 5788837, 5856401, 5904901, 6022117, 6031937, 6051601, 6071297, 6100901, 6230017, 6330257, 6421157, 6431297, 6502501, 6604901, 6635777, 6728837, 6760001, 6780817, 6885377, 7001317, 7043717, 7096897, 7107557, 7160977, 7203857, 7290001, 7322437, 7452901, 7485697, 7540517, 7584517, 7617601, 7650757, 7672901, 7706177, 7728401, 7806437, 7862417, 7974977, 8031557, 8042897, 8122501, 8202497, 8271377, 8317457, 8352101, 8386817, 8410001, 8503057, 8549777, 8561477, 8608357, 8667137, 8761601, 8785297, 8844677, 8916197, 9096257, 9156677, 9278117, 9326917, 9449477, 9572837, 9647237, 9672101, 9821957, 9834497, 9859601, 9960337, 9985601, 10074277, 10137857, 10214417, 10265617, 10329797, 10368401, 10497601, 10536517, 10588517, 10666757, 10719077, 10758401, 10824101, 10916417, 10929637, 10982597, 11062277, 11115557, 11155601, 11222501, 11262737, 11289601, 11383877, 11492101, 11806097, 11874917, 12068677, 12110401, 12180101, 12278017, 12362257, 12390401, 12460901, 12489157, 12503297, 13133377, 13278737, 13322501, 13395601, 13468901, 13586597, 13808657, 13912901, 13942757, 14032517, 14092517, 14107537, 14167697, 14243077, 14258177, 14318657, 14364101, 14394437, 14440001, 14485637, 14638277, 14822501, 14976901, 15085457, 15132101, 15163237, 15210001, 15288101, 15397777}
Length[lista]
380
Así, entre el primer millón de números primos existen 380 que son de la forma n^2+1 para algún número natural. Veamos como se distribuyen, viendo cuantos primos de la forma n^2+1 hay en cada paquete de 1000 en 1000 hasta un millón.
cantidad[numero_] := Module[{lista = {}},
Do[If[IntegerQ@Sqrt[Prime[n] - 1], AppendTo[lista, Prime[n]]], {n,
1000*numero + 1, 1000*(numero + 1)}];
Length[lista]]
dist = Table[{p, cantidad[p]}, {p, 0, 1000, 1}]
Show[dist,
AxesLabel -> {HoldForm[por miles],
HoldForm[cantidad de primos n^2 + 1]}, PlotLabel -> None,
LabelStyle -> {GrayLevel[0]}]
Tally[Transpose[dist][[2]]]
{{17, 1}, {8, 1}, {5, 1}, {4, 4}, {3, 3}, {1, 265}, {2, 30}, {0, 696}}
Aquí vemos que hay 696 intervalos de mil en mil en el primer millón de números naturales, donde no existe ningún número primo de la forma n^2 + 1, 265 donde sólo hay uno.
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