Representaciones numéricas de 2018

El número 2018 lo podemos ver como:

Pandigitales

2048 - (9 + 6 + 3) 1 - 5 - 7

2018

8 (3 - 1) + 2 7 (5 + 6 + 0) (4 + 9)

2018

(987 + 65 - 43) 2 1

2018

1 2 (3! + 45 + 67 + 891 + 0)

2018

(9 + 8 + 7 + 6 + 54 + 3 + 2 + 1 + 0 + 1) 23 - 45 - 6 - 7 - 8 - 9

2018

Terna Pitagórica

2018^2 == 1118^2 + 1680^2

True

Suma de cuadrados

dos cuadrados

13^2 + 43^2

2018

tres cuadrados

1^2 + 9^2 + 44^2

2018

3^2 + 28^2 + 35^2

2018

5^2 + 12^2 + 43^2

2018

8^2 + 27^2 + 35^2

2018

9^2 + 16^2 + 41^2

2018

19^2 + 19^2 + 36^2

2018

20^2 + 23^2 + 33^2

2018

Cuatro cuadrados

1^2 + 21^2 + 26^2 + 30^2

2018

15^2 + 28^2 + 28^2 + 15^2

2018

18^2 + 18^2 + 23^2 + 29^2

2018

15^2 + 21^2 + 26^2 + 26^2

2018

2^2 + 5^2 + 30^2 + 33^2

2018

Cinco cuadrados

3^2 + 18^2 + 22^2 + 24^2 + 25^2

2018

19^2 + 24^2 + 12^2 + 24^2 + 19^2

2018

4^2 + 31^2 + 8^2 + 31^2 + 4^2

2018

Suma de cubos

1^3 + 7^3 + 7^3 + 11^3

2018

1^3 + 2^3 + 4^3 + 6^3 + 9^3 + 10^3

2018

1^3 + 7^3 + 7^3 + 11^3

2018

Suma de cuartas potencias

2^4 + 3^4 + 5^4 + 6^4

2018

4^4 + 5^4 + 4^4 + 5^4 + 4^4

2018

2^4 + 3^4 + 5^4 + 6^4

2018

Sumas de potencias diferentes

2^1 + 2^11 - 2^5

2018

3^4 + 1^3 + 44^2

2018

1^4 + 12^3 + 17^2

2018

2^8 + 3^4 + 41^2

2018

3^6 + 10^3 + 17^2

2018

Con una sola cifra

(1111 - 111 + 11 - 1 - 1) (1 + 1)

2018

2 (2^(2^2 + 2^2 + 2) - (2 + 2)^2) + 2

2018

333 (3 + 3) + 3 3 + 3 3 + 3!/3

2018

44 44 + 44 + 44 - 4!/4

2018

5^5 - 555 - 555 + (5 + 5 + 5)/5

2018

(666 + 6) 6 6/(6 + 6) + (6 + 6)/6

2018

7 7 (7 7 - 7 - 7/7) + 7 + (7 + 7)/7

2018

(8 8 8 - 8) 8 8/(8 + 8) + (8 + 8)/8

2018

999 + 999 + 9 + 9 + (9 + 9)/9

2018

Suma de triangulares

t[n_] := n (n + 1)/2

t[25] + t[37] + t[44]

2018

t[27] + t[40] + t[40]

2018

t[28] + t[36] + t[43]

2018

Suma de Pentagonales

p[n_] := n (3 n - 1)/2

p[8] + p[36]
p[4] + p[11] + p[35]
p[6] + p[9] + p[25] + p[25]

2018

Palíndromo

4 4 + 5 5 + 44 44 + 5 5 + 4 4

2018

8 + 2002 + 8

2018

696 + 626 + 696

2018

878 + 262 + 878

2018

797 + 424 + 797

2018

575 + 868 + 575

2018

Árbol Navideño Fractal

Problema Relacionado con la Constante Áurea

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Dados un cuadrado de lado L y media circunferencia con diámetro uno de los lados, determinar la razón entre el lado del cuadrado y la distancia de un vértice del cuadrado, fuera de la circunferencia, y la circunferencia.

Llamemos P a uno de los vértices del cuadrado, fuera de la circunferencia, O al centro de la circunferencia y d la distancia de P a la circunferencia.

gra1 = Graphics[{Line[{{1/2, 0}, {1/2, 1}, {-1/2, 1}, {-1/2, 0}, {1/2,0}}], Line[{{0, 0}, Sqrt[2]/4 {1, 1}}], {Red, Dashed, 
     Line[{{0, 0}, {0.5, 1}}]}, Text["L/2", {1/4, 1/8}], Text["P", {0.47, 0.96}], Text["d", {0.33, 0.7}], {PointSize[Large], 
     Point[{0, 0}], Point[{0.218, 0.449}], Point[{0.5, 1}]}, 
    Text["O", {-0.05, 0.05}], {Arrowheads[{-.05, .05}], Arrow[{{9/16, 0}, {9/16, 1}}],Text["L", {10/16, 1/2}], 
     Arrow[{{-1/2, 17/16}, {1/2, 17/16}}]}, Text["L", {0, 18/16}]}];
Show[ContourPlot[{x^2 + y^2 == 1/4}, {x, -10/16, 10/16}, {y, 0, 10/8},Frame -> None, Axes -> False, AxesLabel -> None, 
  Ticks -> None], gra1]

Como la distancia de P(L/2,L) a O(0,0) es igual a d+L/2, entonces:

Clear[d, L]
Reduce[{EuclideanDistance[{L/2, L}, {0, 0}] == d + L/2, d > 0, 
  L > 0}, {L}, Reals]

Así,

Por tanto, la razón entre el lado del cuadrado y la distancia del vértice a la media circunferencia inscrita es la constante áurea.



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Frase Célebre de Charles. G. Darwin

Cualquier nueva serie de descubrimientos es Matemática en forma, ya que no podemos tener otra guía.

Charles. G. Darwin

Construcción de una Elipse por Afinidad

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Partimos de dos circunferencias concéntricas, trazamos un radio de la circunferencia mayor y dibujamos un triangulo rectángulo con hipotenusa el segmento de radio entre las dos circunferencias entonces el vértice que corresponde al ángulo recto corresponde a un punto de la elipse con semiejes menor y mayor los radios de las circunferencia interior y exterior respectivamente.

Al ir haciendo girar el radio con respecto al centro se va construyendo la elipse.

En Mathematica

cir = ContourPlot[{x^2 + y^2 == 1, x^2 + y^2 == 4}, {x, -3, 
    3}, {y, -3, 3}, Axes -> True];
Manipulate[
 Show[cir, 
  Graphics[{{Dashed, 
     Line[{{2 Cos[\[Theta]], Sin[\[Theta]]}, {2 Cos[\[Theta]], 
        2 Sin[\[Theta]]}}], 
     Line[{{2 Cos[\[Theta]], Sin[\[Theta]]}, {Cos[\[Theta]], 
        Sin[\[Theta]]}}]}, 
    Line[{{0, 0}, {2 Cos[\[Theta]], 2 Sin[\[Theta]]}}]}], 
  ParametricPlot[{2 Cos[t], Sin[t]}, {t, 0, \[Theta]}, 
   PlotStyle -> Red]], {\[Theta], 0.00001, 2 Pi}]

Manipulando el radio de las circunferencias, podemos lograr que el semieje mayor esté de forma vertical al intercambiar la circunferencia interior con la exterior.

Manipulate[r = Max[a, b]; 
 Show[ContourPlot[{x^2 + y^2 == a^2, x^2 + y^2 == b^2}, {x, -3, 
    3}, {y, -3, 3}, Axes -> True], 
  Graphics[{{Dashed, 
     Line[{{b Cos[\[Theta]], a Sin[\[Theta]]}, {b Cos[\[Theta]], 
        b Sin[\[Theta]]}}], 
     Line[{{b Cos[\[Theta]], a Sin[\[Theta]]}, {a Cos[\[Theta]], 
        a Sin[\[Theta]]}}]}, 
    Line[{{0, 0}, {r Cos[\[Theta]], r Sin[\[Theta]]}}]}], 
  ParametricPlot[{b Cos[t], a Sin[t]}, {t, 0, \[Theta]}, 
   PlotStyle -> Red]], {{a, 1}, 0.1, 3}, {{b, 2}, 0.1, 3}, {\[Theta], 
  0.00001, 2 Pi}]

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Frase Célebre de René Descartes

Daría todo lo que sé por la mitad de lo que ignoro

René Descartes

Estado Magnético en términos de los Espines

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Colaboración con la Física Claudia Milena Bedoya.

Otra de las múltiples aplicaciones que permite Wolfram Mathematica es la visualización del estado magnético de materiales a escala reducida. La gráfica muestra el estado magnético en términos de los espines (propiedad física asociada al movimiento de un electrón sobre su propio eje) en un sistema core/shell, compuesto por un núcleo y una envoltura ambos magnéticos.
Estos sistemas presentan potenciales aplicaciones en el campo de almacenamiento de información.

Tenemos una base de 400 datos Dat.xls (descargar), donde cada entrada tiene cuatro componentes: las dos primeras nos indican la posición en el plano, la tercera la orientación 1-arriba y -1-abajo y la cuarta componente core/shell con los colores verde y rojo respectivamente.

Primero cargamos la base de datos:

datos = Flatten[Import["por Insertar->Ruta de Archivo (buscar el archivo Dat.xls donde lo descargó)"], 1];

Ahora realizamos la representación gráfica :

Graphics[Table[{If[datos[[n, 4]] == "c", Red, Green], 
   Arrowheads[0.03], 
   Arrow[{datos[[n, {1, 2}]], 
     datos[[n, {1, 2}]] + {0, datos[[n, 3]]}}]}, {n, 1, 400}], 
 Axes -> True]

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Frase Célebre de Ludwig Wittgenstein

No hay enigmas. 
Si un problema puede plantearse, 
también puede resolverse.

Ludwig Wittgenstein