Frase Célebre de Jules Henri Poincaré

La geometría es el arte de pensar bien y dibujar mal.

 Jules Henri Poincaré

Mathematica y Anatomía

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Mathematica incorpora los comandos AnatomyData, AnatomyPlot3D, AnatomyForm, HumanGrowthData y otros más, que incluyen una inmensa base de datos con casi cien mil entidades correspondientes a órganos, huesos, sistemas, etc. de la anatomía del cuerpo humano.

AnatomyData[]

Estas entidades se encuentran agrupadas según la siguiente clasificación:

AnatomyData["Classes"]

Por ejemplo

Length[%]
206

Gráfico de una entidad

Graficando varias de estas entidades, de acuerdo con la estructura del cuerpo humano:

Una clase de entidades

o varios sistemas de una parte del cuerpo

Datos de alguna entidad, del cerebro: masa, volumen y porcentaje de peso con respecto al cuerpo

{1375., Grams, 1300., Milliliters], 2., %]}

Datos del crecimiento de un infante menor de 35 meses

Manipulate[
 valor = HumanGrowthData[
   Association["Age" -> Quantity[edad, "Months"], "Gender" -> Sexo], 
   Dato, UnitSystem -> "Metric"]; 
 Row[{"De ", valor[[1, 1, 1]], 2, " a ", valor[[1, 1, 2]], " ", 
   valor[[2]]}], {{edad, 10, "Edad en Meses"}, 0, 35, 
  Appearance -> "Labeled"}, {{Sexo, 
   "Female"}, {"Female" -> "Femenino", 
   "Male" -> "Masculino"}}, {{Dato, "Length"}, {"Length" -> "Altura", 
   "Weight" -> "Peso"}}]

La mejor forma de conocer a profundidad los anteriores comandos es visitando la ayuda del programa y el centro de información.


Para aprender más sobre Mathematica ingrese aquí sitio de aprendizaje de Wolfram o en mi website ustamathematica.wixsite.com/basicas

Pronunciación de Nombres de Matemáticos

Encontre el Blog pronouncemath.blogspot.com donde nos indica la correcta pronunciación de los nombres de gran número de matemáticos.

Frase Célebre de Felix Cohen

A las teorías en las que creemos las llamamos hechos, 
y a los hechos en los que no creemos los llamamos teorías.

 Felix Cohen

Números de Kaprekar

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Se deben al matemático Indio Shir Dattatreya Ramachandra Kaprekar (1905-1986) de quien ya hablamos en este Blog con la Constante de Kaprekar y la Constante de Kaprekar para 2,5,6 dígitos.

Un número de Kaprekar es un entero positivo X tal que los dígitos de su cuadrado pueden ser separados en dos números A y B que sumados dan el número original X. Es decir, para n un entero positivo:

Construimos la función kap[X] que descompone el cuadrado del número X en todas las posibles parejas de números candidatos a ser A y B,

kap[n_] := 
 Module[{lista, long, tabla}, lista = IntegerDigits[n^2]; 
  long = Length[lista]; 
  tabla = Select[Table[Map[FromDigits, TakeDrop[lista, p]], {p, 
      long - 1}], #[[2]] != 0 &]]

sólo nos queda por seleccionar los números tales que A + B = X, Así los números de Kaprekar menores que un millón son:

kaprekar = {1};
Do[If[MemberQ[Total[kap[n], {2}], n], AppendTo[kaprekar, n]], {n, 
  1000000}]
kaprekar

{1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, 4879, 4950, 5050, 5292, 7272, 7777, 9999, 17344, 22222, 38962, 77778, 82656, 95121, 99999, 142857, 148149, 181819, 187110, 208495, 318682, 329967, 351352, 356643, 390313, 461539, 466830, 499500, 500500, 533170, 538461, 609687, 627615, 643357, 648648, 670033, 681318, 791505, 812890, 818181, 851851, 857143, 961038, 994708, 999999}

notemos que todos los números de la forma 10ⁿ-1 son Números de Kaprekar, por tanto existen infinitos Números de Kaprekar.
El número 1 se agrega a la lista pues su cuadrado se puede descomponer en 0+1, veamos para los demás Números de Kaprekar cual es la descomposición de su cuadrado:

TableForm[
 Table[{kaprekar[[n]], kaprekar[[n]]^2, 
   Row[Part[kap[kaprekar[[n]]], 
     Position[Map[Total, kap[kaprekar[[n]]]], kaprekar[[n]]][[1, 1]]], "+"]}, {n, 2, Length[kaprekar]}], TableAlignments -> Right, 
 TableHeadings -> {None, {"X", "X²","A+B"}}]

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Frase Célebre de Francis Bacon

En la matemática no encuentro ninguna imperfección, 
excepto quizá en el hecho de que los hombres no comprenden 
de manera suficiente el excelente uso de la matemática pura.

Francis Bacon

Representación Gráfica de las Raíces de una Función Cuadrática

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Sabemos que la función

tiene por gráfica una parábola que abre hacia arriba si a es positivo y hacia abajo si a es negativo, y sus raíces están dadas por:

y si la cantidad b² - 4 a c que se llama el discriminante de la función es positivo, corta al eje x en dos puntos, que son sus raíces, y están ubicadas  sobre el eje x en los puntos (x1, 0) y (x2, 0), si es igual a cero corta el eje en un único punto ubicado en (-b/2 a, 0).

Aspecto que podemos ver en el siguiente aplicativo, donde los puntos rojos son sus raíces:

Manipulate[disc = b^2 - 4 a c; 
 If[disc >= 
   0, {x1, x2} = {(-b - Sqrt[disc])/(2 a), (-b + Sqrt[disc])/(2 a)}]; 
 Show[Plot[a x^2 + b x + c, {x, -10, 10}, PlotRange -> 10], 
  If[disc >= 0, Graphics[{Red, Point[{x1, 0}], Point[{x2, 0}]}], 
   Graphics[Point[{0, 0}]]]], {a, -4, 4}, {b, -4, 4}, {c, -4, 4}]

Si el discriminante es negativo entonces al extraer la raíz cuadrada obtenemos soluciones complejas que las vamos a representar de acuerdo al siguiente proceso:
1. Los números complejos son de la forma a+b I, donde I tiene la propiedad que al ser elevada al cuadrado da -1, el valor a se representa sobre el eje horizontal (las x) y el valor b sobre el eje vertical (las y).
2. El tener raíces complejas implica que la parábola no corta el eje de las x, pero la parábola simétrica con respecto a la línea horizontal que pasa por su vértice sí corta al eje x en dos puntos p1 y p2.
3. Trazamos la circunferencia que pasa por los puntos p1 y p2, que tiene su centro en el punto medio de ellos.
4. los puntos sobre el diámetro vertical de la circunferencia, siguiendo la convención dada en 1., son la representación de sus raíces.

En el siguiente aplicativo la parábola simétrica a la dada por la función está puntada de amarillo, los puntos p1 y p2 están de negro, la circunferencia de verde y como antes las raíces de la función de rojo.

Manipulate[disc = b^2 - 4 a c; 
 If[disc >= 
   0, {x1, x2} = {(-b - Sqrt[disc])/(2 a), (-b + 
       Sqrt[disc])/(2 a)}, {x1, 
    x2} = {(-b - Sqrt[-disc])/(2 a), (-b + Sqrt[-disc])/(2 a)}]; 
 Show[Plot[a x^2 + b x + c, {x, -10, 10}, PlotRange -> 10], 
  If[disc < 0, 
   Plot[-a x^2 - b x - c + (4 a c - b^2)/(2 a), {x, -10, 10}, 
    PlotStyle -> {Yellow, Dashed}], 
   Plot[a x^2 + b x + c, {x, -10, 10}]], 
  Graphics[{{If[disc >= 0, Red, Black], Point[{x1, 0}], 
     Point[{x2, 0}]}, 
    If[disc < 0, {Red, Point[{(x1 + x2)/2, (x2 - x1)/2}], 
      Point[{(x1 + x2)/2, (x1 - x2)/2}]}], 
    If[disc < 0, {Green, Dashed, 
      Circle[{(x1 + x2)/2, 0}, Abs[(x1 - x2)/2]]}, Point[{0, 0}]]}], 
  AspectRatio -> 1], {a, -4, 4}, {b, -4, 4}, {c, -4, 4}]

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Frase Célebre de William Ward

El profesor mediocre dice. 
El buen profesor explica. 
El profesor superior demuestra. 
El gran profesor inspira.

William Ward

Raíces de un número complejo

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Dado un número complejo Z al resolver la ecuación :

encontramos que posee n soluciones complejas, que corresponden a las raíces enésimas de Z. Al representarlas gráficamente ellas corresponden a los vértices de un polígono regular de n lados inscrito en una circunferencia centrada en el origen de radio raíz enésima del módulo de Z.

Vamos a ilustrar gráficamente este  comportamiento:

Manipulate[z = aa[[1]] + I aa[[2]]; 
 raices = Table[{Power[Abs[z], (n)^-1] Cos[(Arg[z] + 2 \[Pi] k)/n], 
    Power[Abs[z], (n)^-1] Sin[(Arg[z] + 2 \[Pi] k)/n]}, {k, 0, n}];
 Column[{
   Text@Style[RadicalBox[z, n] // DisplayForm, 18],
   Graphics[{
     If[circulo, Circle[{0, 0}, Power[Abs[z], (n)^-1]], {}],
     If[poligono, {Dashed, Red, 
       Line[Append[raices, First@raices]]}, {}],
     Red, PointSize[.02], Point[raices]},
    PlotRange -> 2, AspectRatio -> Automatic, Axes -> True, 
    ImageSize -> {400, 400}]
   }, Alignment -> Center],
 {poligono, {False, True}},
 {circulo, {False, True}},
 {{n, 2, "n"}, 2, 12, 1, Appearance -> "Labeled"},
 {{aa, {1, 1}}, {-2, -2}, {2, 2}, Locator}]

Podemos con el mouse arrastrar el punto señalado con la mira para ir cambiando el número Z.

Este aplicativo ya lo había publicado en http://demonstrations.wolfram.com/RootsOfAComplexNumber/


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Frase Célebre de Alfred Rényi

Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas.

Alfred Rényi