Círculos de Ford

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Son círculos centrados en (p/q,1/2q²) y con radio 1/2q², donde p/q es una fracción irreducible, es decir, p y q son números enteros primos entre sí. Estos círculos se notan por C[p/q], y la fracción p/q se conoce como la fracción generatriz del círculo.

Los círculos de Ford reciben el nombre del matemático estadounidense Lester R. Ford quien los describió en un artículo en 1938.

Manipulate[
 Show@Table[
   Graphics[
    If[CoprimeQ[p, q], Tooltip@Circle[{p/q, 1/(2 q^2)}, 1/(2 q^2)]], 
    Axes -> True, PlotRange -> {{-0.5, 1.5}, {0, 1}}], {q, 1, n}, {p, 0, q}], {n, 1, 10, 1}]

Suma de las Área de los Círculos de Ford

La suma del área de todos los círculos de Ford, está dada por:

donde (p, q) es el máximo común divisor, (p, q) = 1 indica que son primos relativos. Simplificando, obtenemos :

0.872284

Propiedad

marcas = {DeleteDuplicates@
     Sort@Flatten[Table[{p/q, p/q}, {q, 1, 4}, {p, 0, q}], 1], 
    None} /. {{0, 0} -> {0, "⁰/₁"}, {1, 1} -> {1, "¹/₁"}};
Show@Table[
  Graphics[If[CoprimeQ[p, q], Circle[{p/q, 1/(2 q^2)}, 1/(2 q^2)]], 
   Axes -> True, Ticks -> marcas, 
   PlotRange -> {{-0.5, 1.5}, {0, 1}}], {q, 1, 4}, {p, 0, q}]

Veamos que si tomamos tres círculos de Ford tangentes consecutivos, en orden: C[a/b], C[m/n] y C[c/d], se cumple:

donde

La sucesión de las fracciones generatrices de los Círculos de Ford se conoce como la Sucesión de Farey.


Cómo se creó el Gif del Manipulate

Export[NotebookDirectory[] <> "fordcirculo.gif", 
 Manipulate[
  Show@Table[
    Graphics[Tooltip@Circle[{p/q, 1/(2 q^2)}, 1/(2 q^2)], 
     Axes -> True, PlotRange -> {{-0.5, 1.5}, {0, 1}}], {q, 1, n}, {p, 0, q}], {n, 1, 10, 1}], "AnimationRepetitions" -> Infinity]

Lo crea en la misma carpeta en la que se encuentra el archivo.



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